Để tính |GB + GC| trong tam giác vuông ΔABC tại A với AB = 3 và AC = 4, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm.

Giả sử:
- A(0, 0)
- B(3, 0)
- C(0, 4)

**1. Tính tọa độ trọng tâm G:**

Trọng tâm G của tam giác được tính bằng cách lấy trung bình tọa độ của ba đỉnh:

\[
G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right) = \left(\frac{0 + 3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3}\right) = \left(1, \frac{4}{3}\right)
\]

**2. Tính khoảng cách GB và GC:**

- Tọa độ B là (3, 0) và G là (1, \(\frac{4}{3}\)):

\[
GB = \sqrt{(3 - 1)^2 + \left(0 - \frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{2^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{52}{9}} = \frac{\sqrt{52}}{3} = \frac{2\sqrt{13}}{3}
\]

- Tọa độ C là (0, 4):

\[
GC = \sqrt{(0 - 1)^2 + (4 - \frac{4}{3})^2} = \sqrt{(-1)^2 + \left(4 - \frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{12}{3} - \frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{73}{9}} = \frac{\sqrt{73}}{3}
\]

**3. Tính giá trị |GB + GC|:**

\[
|GB + GC| = \left|\frac{2\sqrt{13}}{3} + \frac{\sqrt{73}}{3}\right| = \frac{1}{3}\left(2\sqrt{13} + \sqrt{73}\right)
\]

Vậy nên:

\[
|GB + GC| = \frac{1}{3}(2\sqrt{13} + \sqrt{73})
\]

Đây là kết quả cần tìm.