Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng định lý cosine (định lý lượng giác) trong tam giác.

Cho tam giác \( \triangle ABC \) cân tại \( A \) với các thông số:

- \( AB = a \)
- \( \angle BAC = 120^\circ \)

Ta cần tính \( | \overline{BC} | \).

Theo định lý cosine:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)
\]

Ở đây, vì tam giác cân tại \( A \), ta có \( AC = AB = a \). Thay vào công thức:

\[
BC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)
\]

Giá trị của \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), vậy:

\[
BC^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2})
\]

\[
BC^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2
\]

Do đó, ta có:

\[
BC = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
| \overline{BC} | = a\sqrt{3}
\]