Để tính \( |OB + OM| \) trong hình chữ nhật ABCD với \( AB = 4a \) và M là trung điểm của CD, ta cần xác định tọa độ các điểm.

1. **Tọa độ các điểm:**
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(4a, 0) \), \( C(4a, h) \), \( D(0, h) \), với \( h \) là chiều cao của hình chữ nhật.

2. **Tọa độ điểm M:**
- \( M \) là trung điểm CD, nên tọa độ của M là:
\[
M\left( \frac{0 + 4a}{2}, \frac{h + h}{2} \right) = (2a, h)
\]

3. **Tính độ dài \( |OB| \):**
- Tọa độ O là giao điểm của AC và BD. Theo tính chất của hình chữ nhật, O sẽ là trung điểm của cả AC và BD.
- Tọa độ \( O \) sẽ là:
\[
O\left( \frac{0 + 4a}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = (2a, \frac{h}{2})
\]
- Độ dài \( |OB| \):
\[
|OB| = \sqrt{(4a - 2a)^2 + \left(0 - \frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(-\frac{h}{2}\right)^2}
= \sqrt{4a^2 + \frac{h^2}{4}} = \sqrt{4a^2 + \frac{h^2}{4}}
\]

4. **Tính độ dài \( |OM| \):**
- Độ dài \( |OM| \):
\[
|OM| = \sqrt{(2a - 2a)^2 + \left(h - \frac{h}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} = \frac{h}{2}
\]

5. **Tính tổng \( |OB + OM| \):**
- Thực chất ta cần tính tổng độ dài:
\[
|OB + OM| = |OB| + |OM| = \sqrt{4a^2 + \frac{h^2}{4}} + \frac{h}{2}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
|OB + OM| = \sqrt{4a^2 + \frac{h^2}{4}} + \frac{h}{2}
\]