Cho đường tròn (O; R) và dây cung EF, đường thẳng qua E vuông góc với OE cắt đường thẳng qua F vuông OF tại M. Đường thẳng qua M cắt đường tròn O tại 2 điểm H và K. Gọi I là trung điểm HK. Chứng minh M; E; O; I; F cùng thuộc 1 đường tròn

Ta có đường tròn \((O; R)\) với dây cung \(EF\). Ta sẽ chứng minh rằng các điểm \(M\), \(E\), \(O\), \(I\), và \(F\) cùng thuộc một đường tròn (tức là đồng quy về một đường tròn).

Đầu tiên, theo giả thiết, đường thẳng qua \(E\) vuông góc với \(OE\) cắt đường thẳng qua \(F\) vuông góc với \(OF\) tại điểm \(M\).

Theo tính chất hình học, khi \(ME\) vuông góc với \(OE\) thì góc \(EMO = 90^\circ\) và tương tự \(MF\) vuông góc với \(OF\) có góc \(FMO = 90^\circ\).

Bây giờ, ta biết rằng \(|OH| = |OK| = R\) (vì \(H\) và \(K\) là các điểm thuộc đường tròn). Ta gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HK\), điều này có nghĩa là \(I\) được xác định bởi \(H\) và \(K\).

Điểm \(I\) được xác định là trung điểm của đoạn nối \(H\) và \(K\), do đó ta có:

\[
|HI| = |IK| = \frac{1}{2}|HK|
\]

Xét tam giác \(HOK\), theo định lý trung điểm trong tam giác, ta thấy rằng điểm \(I\) nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HOK\). Điểm \(O\) là tâm của đường tròn này.

Để chứng minh \(M, E, O, I, F\) nằm trên một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng các cặp đường chéo \(ME\) và \(MF\) là các đường thẳng đi qua \(M\) vuông góc với các đoạn nối \(OE\) và \(OF\) tương ứng.

Theo định lý, tổng các góc đối diện trong tứ giác \(MEOF\) phải bằng \(180^\circ\):

\[
\angle EOI + \angle MFI = 180^\circ
\]

và

\[
\angle EOM + \angle FIM = 180^\circ.
\]

Vì \(\angle EMO = 90^\circ\) và \(\angle FMO = 90^\circ\), các góc này cũng thuộc về \(\triangle EOM\) và \(\triangle FOM\). Do đó, ta đã có chứng minh rằng \(M\), \(E\), \(O\), \(I\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

Kết luận, ta đã chứng minh rằng các điểm \(M, E, O, I, F\) nằm trên cùng một đường tròn.