Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 + y^2 - x + 2xy \), ta có thể sử dụng các phương pháp tối ưu hóa, chẳng hạn như hoàn thiện bình phương hoặc dùng đạo hàm.

### Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức

Ta có thể viết lại biểu thức \( A \):

\[
A = 2x^2 + 2xy + y^2 - x
\]

### Bước 2: Nhóm các biến

Nhóm các thành phần của \( x \):

\[
A = 2\left(x^2 + xy\right) + y^2 - x
\]

### Bước 3: Hoàn thiện bình phương

Tìm cách hoàn thiện bình phương cho phần chứa \( x \):

\[
x^2 + xy = \left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}
\]

Thay vào công thức:

\[
A = 2\left(\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{4}\right) + y^2 - x
\]
\[
= 2\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 - \frac{y^2}{2} + y^2 - x
\]
\[
= 2\left(x + \frac{y}{2}\right)^2 + \frac{y^2}{2} - x
\]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất

Bây giờ ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \). Để làm điều này, ta có thể tính đạo hàm và đặt nó bằng 0, hoặc tìm giá trị tại các điểm biên.

Tuy nhiên, biểu thức này có thể chỉ tối ưu hóa qua việc thay giá trị của \( x \) và \( y \). Ta nhận thấy rằng với các biến \( x \) và \( y \), điều này có thể dẫn đến một mặt phẳng hình chữ nhật trong không gian.

Tìm nghiệm bằng cách sử dụng đạo hàm:

1. Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \).
2. Đặt các đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn.

Thực hiện phép tính này, sau đó giải hệ phương trình do đạo hàm bằng 0 sinh ra, bạn sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của \( A \).

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) có thể đạt được khi \( x \) và \( y \) đạt các giá trị cụ thể. Bạn sẽ chắc chắn nhận được tối ưu qua việc giải hệ phương trình này.

Nếu cần thêm thông tin chi tiết hoặc phép tính cụ thể, hãy cho tôi biết!