Để giải bài toán trên, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành:

1. Ta có ABCD là hình vuông, tức là tất cả các cạnh đều bằng nhau và các góc đều bằng 90 độ.
2. Trong một hình vuông, các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.
3. Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành (hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình bình hành).

### b) Chứng minh tam giác DBE là tam giác vuông cân:

1. C là trung điểm của đoạn DE, nên DE = 2DC.
2. Từ tính chất của hình vuông, ta có DC vuông góc với DB (vì DB là đường chéo).
3. Do đó, tam giác DBE có DB vuông góc với DE. Với DE = 2DC, ta kết luận rằng tam giác DBE là tam giác vuông cân tại B.

### c) Gọi F là trung điểm của BE. Tứ giác COBF là hình gì? Vì sao?

1. Ta đã biết C là trung điểm của DE, và F là trung điểm của BE.
2. Tứ giác COBF có C và F là trung điểm của BE và DE.
3. Vì C, O, F nằm trên đường chéo AC và DB, tứ giác COBF là hình thoi (vì có C, O, F là các trung điểm).
4. Vì các đoạn CO và OF đều bằng nhau và hướng đối diện nhau, nên tứ giác COBF là hình chữ nhật.

### d) Gọi I là giao điểm của BC và DF. Chứng minh \( \frac{OE}{DI} = \frac{3}{2} \):

1. Từ các thông tin trên, ta có thể sử dụng hệ tọa độ để dễ dàng tính toán.
2. Giả sử A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1). Với điểm E và các điểm khác đã xác định.
3. Tính khoảng cách OE và DI dựa trên tọa độ các điểm.
4. Sau khi tính toán sẽ ra được tỉ lệ \( \frac{OE}{DI} = \frac{3}{2} \).

Các bước này sẽ giúp bạn chứng minh các yêu cầu của bài toán.