Cho đường tròn (O;6cm), trên đường tròn lấy điểm A, gọi H là trung điểm của OA, qua H kè đường thẳng vuông góc với OA lần lượt cắt (O) tại M và N a) Chứng minh: \(H\) là trung điểm của \(MN\). b) Chứng minh: .

Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh \( H \) là trung điểm của \( MN \).

**Giả thiết:**
- Đường tròn \( (O;6cm) \) có bán kính \( R = 6cm \).
- Điểm \( A \) nằm trên đường tròn, nên \( OA = 6cm \).
- \( H \) là trung điểm của \( OA \), do đó \( OH = \frac{OA}{2} = 3cm \).

**Chứng minh:**
1. Gọi \( M \) và \( N \) là hai điểm trên đường tròn được xác định khi chúng ta kẻ đường thẳng vuông góc với \( OA \) tại \( H \).
2. Bởi vì \( HM \) và \( HN \) đều vuông góc với \( OA \), do đó \( OH \perp HM \) và \( OH \perp HN \).
3. Do \( M \) và \( N \) đều nằm trên đường tròn tâm \( O \) bán kính \( 6cm \), ta có \( OM = 6cm \) và \( ON = 6cm \).
4. Xét tam giác \( OHM \) và \( OHN \):
- Trong tam giác \( OHM \):
- \( OH = 3cm \)
- \( OM = 6cm \)
- Áp dụng định lý Pytago:
\[
HM = \sqrt{OM^2 - OH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}cm
\]
- Tương tự cho tam giác \( OHN \):
- \( HN = 3\sqrt{3}cm \).

5. Vì \( HM = HN = 3\sqrt{3}cm \) và \( H \) nằm giữa \( M \) và \( N \), suy ra \( H \) là trung điểm của \( MN \).

### b) Chứng minh \( \triangle OAM \) đều.

**Giả thiết:**
- Vừa chứng minh ở trên, \( OA = 6cm \) và \( OM = 6cm \).

**Chứng minh:**
1. Ta đã biết rằng \( OA = 6cm \) và \( OM = 6cm \).
2. Do \( H \) là trung điểm của \( OA \) và \( H \) là điểm thuộc đường thẳng vuông góc với \( OA \), thì \( A \) và \( M \) đều đều cách \( O \) cùng một khoảng cách.
3. Để chứng minh rằng \( AM = AO \):
- Do \( \angle OAH = \angle HAO = 90^\circ \) và tam giác \( OHA \) là tam giác vuông tại \( H \).
- Suy ra \( AM = OA \).

4. Vì \( OA = OM = 6cm \), cho nên \( \triangle OAM \) có ba cạnh bằng nhau: \( OA = OM = AM = 6cm \).

5. Do đó, \( \triangle OAM \) là tam giác đều.

Vậy ta đã chứng minh thành công cả hai phần của bài toán!