Để giải bài toán về hình chữ nhật ABCD, trước tiên ta cần xây dựng và phân tích các vị trí của các điểm trong hình.

Cho hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(a,0), C(a,b), D(0,b), ta có:
- Điểm O là giao điểm của AC và BD.
- Điểm I là trung điểm của BC, có tọa độ \( I\left(a, \frac{b}{2}\right) \).
- Điểm E được xác định là đối xứng của O qua I.

**1) Chứng minh tứ giác BOCE là hình thoi.**

Tứ giác BOCE là hình thoi nếu như các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

- Tính toạ độ của O:
- Giao điểm của AC và BD:
- AC được biểu diễn bởi phương trình \( y = \frac{b}{a}x \)
- BD được biểu diễn bởi phương trình \( y = -\frac{b}{a}(x - a) \)

Gọi phương trình BD là \( y = -\frac{b}{a}x + b \).
Giải hệ dua hai phương trình này, ta có thể tìm tọa độ O và từ đó tính các độ dài.

- Tính độ dài các cạnh:
- \( BO = \sqrt{(\text{toạ độ B} - \text{toạ độ O})^2} \)
- \( OE = \sqrt{(\text{toạ độ O} - \text{toạ độ E})^2} \)
- Tương tự tính cho OC, CE.

Do O đối xứng với E qua I, ta có \( BO = OE \) và \( CO = EB \). Vậy tứ giác BOCE là hình thoi (có bốn cạnh đối diện bằng nhau).

**2) Chứng minh tứ giác BDCK là hình bình hành và ba điểm D, K, I thẳng hàng.**

Tứ giác BDCK là hình bình hành nếu như các cạnh đối diện của nó bằng nhau, tức là BD = CK và BC = DK.

- Tính tọa độ K (giao điểm của CE và AB):
- Ta tìm phương trình của CE.
- Phương trình AB là \( y = 0 \).
- Giải hệ để tìm K.

Nếu K nằm trên BD và DE chưa thẳng hàng, nhưng BD song song với CK thì BDCK sẽ là hình bình hành.

**3) DK cắt AC và BE lần lượt tại M và N:**

a) Chứng minh M là trung điểm của DN:
- So sánh tọa độ M và N để chứng minh.

b) Chứng minh DM = MN = NK:
- Tính độ dài các đoạn thẳng này bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách giữa các điểm (tính độ dài từ tọa độ của từng điểm).

**4) Tìm điều kiện của hình chữ nhật ABCD để tứ giác BOCE là hình vuông.**

Để BOCE là hình vuông, không chỉ yêu cầu cạnh BO = OE nhưng còn phải có mọi góc đều bằng 90 độ, tức là:

- Tinh chất độ dài và góc vuông: Cần chứng minh rằng \( BO \) vuông góc với \( OE \).
- Để BOCE là hình vuông, ta cần chiều dài của các cạnh BO, OE và hai đương chéo đều bằng nhau.

Các điều kiện này có thể được diễn đạt bằng cách biểu diễn các độ dài và góc bằng các hàm mũ căn trong tọa độ.

**Kết luận**: Để có gợi ý rõ hơn, bạn nên kiểm tra các toạ độ và tính toán cụ thể hơn cho từng mục. Những tính toán trên cho ra một cái nhìn tổng quan và các lý thuyết đằng sau.