Cho tam giác ABC có góc A =90 độ và BC=2AB. Gọi E là trung điểm BC. Phân giác B cắt AC ở D

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng phần theo từng yêu cầu:

**a)** Chứng minh \( DB \) là phân giác góc \( ADE \).

Trước tiên, ta lưu ý rằng:

- Tam giác \( ABC \) là tam giác vuông tại \( A \).
- \( E \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BE = EC \).
- \( D \) là giao điểm của phân giác \( B \) với cạnh \( AC \).

Áp dụng định lý về phân giác trong tam giác, chúng ta có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

Theo đề bài, ta có \( BC = 2AB \), do đó:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}
\]

Như vậy, ta có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} \implies AD : DC = 1 : 2
\]

Điều này chứng tỏ rằng \( DB \) là phân giác của góc \( ADE \), vì các đoạn \( AD \) và \( DC \) thỏa mãn tỉ lệ của hai cạnh.

**b)** Chứng minh \( BC = DC \).

Từ điều đã chứng minh ở trên, ta đã biết rằng \( E \) là trung điểm của \( BC \), và \( EC = BE \).

Theo định nghĩa trung điểm, ta có:

\[
BE = EC = \frac{BC}{2}
\]

Vì \( BC = 2AB \) nên:

\[
BE = EC = \frac{2AB}{2} = AB
\]

Do đó, \( DC \) bằng gì?

Theo tỉ lệ mà ta đã chứng minh ở phần a), có:

\[
AD = \frac{1}{3}AC \quad \text{và} \quad DC = \frac{2}{3}AC
\]

Vì vậy:

\(\frac{DC}{BC} = 1\).

Suy ra:

\[
BC = DC
\]

**c)** Chứng minh: \( E; K; C \) thẳng hàng.

Ta có \( K \) là điểm trên tia đối tia \( AB \) sao cho \( AK = EC = AB \).

Đặt \( O \) là điểm giữa \( E \) và \( C \), với \( E \) là trung điểm của \( BC \). Do đó:

\[
EC = BE \Rightarrow AK = EC
\]

Vì \( K \) nằm trên tia đối tia \( AB \), và \( AK = EC = AB \), suy ra \( K \) trên trung điểm của đoạn \( AC \). Do đó \( E \) và \( C \) đều nằm trên đường thẳng \( AC\).

Kết luận rằng \( E; K; C \) thẳng hàng.

Vậy đã hoàn thành các chứng minh theo yêu cầu đề bài!