Cho ∆ABC vuông ở A. AB = 3, AC = 4. G là trọng tâm ∆ABC. Tính |GB + GC|

Để giải bài toán, trước tiên ta cần tính tọa độ của các điểm trong tam giác vuông \( \Delta ABC \):

- Giả sử điểm \( A(0, 0) \).
- Điểm \( B(3, 0) \) (vì \( AB = 3 \)).
- Điểm \( C(0, 4) \) (vì \( AC = 4 \)).

Bây giờ, ta sẽ tính tọa độ của trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \). Trọng tâm \( G \) được tính bằng công thức:

\[
G\left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
\]

Thay tọa độ các điểm vào công thức:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(3, 0) \)
- \( C(0, 4) \)

Kết quả là:

\[
G\left( \frac{0 + 3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 4}{3} \right) = G\left( 1, \frac{4}{3} \right)
\]

Tiếp theo, ta tính độ dài \( GB \) và \( GC \):

1. \( GB \):
\[
GB = \sqrt{(1 - 3)^2 + \left(\frac{4}{3} - 0\right)^2} = \sqrt{(-2)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{52}{9}} = \frac{\sqrt{52}}{3}
\]

2. \( GC \):
\[
GC = \sqrt{(1 - 0)^2 + \left(\frac{4}{3} - 4\right)^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{4}{3} - \frac{12}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \left(-\frac{8}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{73}{9}} = \frac{\sqrt{73}}{3}
\]

Cuối cùng, tính \( |GB + GC| \):

\[
|GB + GC| = | \frac{\sqrt{52} + \sqrt{73}}{3} | = \frac{\sqrt{52} + \sqrt{73}}{3}
\]

Vậy kết quả là:

\[
|GB + GC| = \frac{\sqrt{52} + \sqrt{73}}{3}
\]