Để phân tích đa thức \( P(x) = x^{11} + x^{10} + x^9 + \ldots + x^2 + x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể nhận thấy đây là một cấp số cộng. Đầu tiên, ta có thể sử dụng công thức tổng của cấp số cộng.

Đa thức này có thể viết lại như sau:

\[
P(x) = \sum_{k=0}^{11} x^k
\]

Tổng của cấp số cộng \( 1 + x + x^2 + \ldots + x^{11} \) có công thức:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]

Trong đó, \( a \) là số hạng đầu (ở đây là 1), \( r \) là công bội (ở đây là \( x \)), và \( n \) là số hạng cuối. Với \( n = 12 \) (có 12 số hạng từ \( x^0 \) đến \( x^{11} \)), ta có:

\[
P(x) = \frac{1 - x^{12}}{1 - x}
\]

Như vậy, đa thức \( P(x) \) có thể được viết dưới dạng:

\[
P(x) = \frac{1 - x^{12}}{1 - x}
\]

Do đó, ta có thể nói rằng đa thức \( x^{11} + x^{10} + x^9 + \ldots + x^2 + x + 1 \) có thể phân tích thành nhân tử là:

\[
P(x) = \frac{1 - x^{12}}{1 - x}
\]

Nếu bạn muốn phân tích thêm \( 1 - x^{12} \) (nếu \( x \neq 1 \)):

\[
1 - x^{12} = (1 - x)(1 + x + x^2 + \ldots + x^{11}) = (1 - x)(P(x))
\]

Vậy nên, cuối cùng ta có kết quả:

\[
P(x) = \frac{1 - x^{12}}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{11}
\]

Hy vọng rằng phân tích này hữu ích cho bạn!