Để chứng minh các tính chất trong hình thang cân ABCD, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản.

### a) Chứng minh \(\angle BDC = \angle ACD\):

1. **Dựa trên tính chất của hình thang cân:** Trong hình thang cân ABCD (với AB // CD), ta có AB = CD và hai góc tương ứng ở đáy là bằng nhau. Cụ thể, ta có:
\[
\angle DAB = \angle ABC
\]

2. **Xét hai tam giác \(\triangle ACD\) và \(\triangle BCD\):**
- \(\triangle ACD\) có cạnh AD là cạnh bên và góc ACD.
- \(\triangle BCD\) có cạnh BD là cạnh bên và góc BDC.

3. **Do AB // CD và AE // BD:**
- Khi đó, ta có các góc đối đỉnh là \(\angle ACD\) và \(\angle BDC\) (góc ngoài tại D), cho nên:
\[
\angle ACD + \angle DAB = 180^\circ
\]
\[
\angle BDC + \angle ABC = 180^\circ
\]

4. **Theo hằng đẳng thức góc:**
- Vì \( \angle DAB = \angle ABC \) nên:
\[
\angle ACD = \angle BDC
\]

Kết luận: Ta có \(\angle BDC = \angle ACD\).

### b) Chứng minh ABFE là hình thang cân:

1. **Vì AB // CD:** Theo tính chất của hình thang, chúng ta có:
- \(AE // BD\) (do kẻ từ A song song với BD), suy ra \(\angle ABE = \angle BAE\).
- \(BF // AC\) (do kẻ từ B song song với AC), suy ra \(\angle BAF = \angle AFB\).

2. **Xét các góc trong tam giác ABE và BCF:**
- Từ yêu cầu song song, ta có:
\[
\angle ABE = \angle BDC \quad \text{(vì AB//CD)}
\]
\[
\angle BAF = \angle ACD \quad \text{(vì AE//BD)}
\]

3. **Sử dụng tính chất tam giác và các cạnh:**
- Chúng ta nhận thấy rằng trong các tam giác ABE và BCF:
- Các góc đối diện tương ứng ở các đỉnh A, B, E, F đều bằng nhau.

4. **Kết luận:**
- Với AB // EF và AE // BD, đồng thời các cặp góc đối diện cũng bằng nhau nên ABFE là một hình thang cân.
- Chúng ta đã chứng minh được ABFE là hình thang cân.

Vậy, hình thang cân ABFE được chứng minh là đúng.