Một số tự nhiên có ba chữ số có tổng chữ số hàng trăm với chữ số hàng đơn vị bằng 9 và nếu đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới có ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 99

Để giải bài toán này, ta gọi số tự nhiên có ba chữ số là \( xyz \), trong đó:

- \( x \) là chữ số hàng trăm,
- \( y \) là chữ số hàng chục,
- \( z \) là chữ số hàng đơn vị.

Theo bài toán, ta có 2 điều kiện:

1. \( x + z = 9 \)
2. Nếu đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị, số mới (gọi là \( zyx \)) sẽ nhỏ hơn số ban đầu \( xyz \) là 99.

Ta có công thức cho số ban đầu:

\[
xyz = 100x + 10y + z
\]
Số mới là:

\[
zyx = 100z + 10y + x
\]

Theo điều kiện 2, ta có:

\[
zyx = xyz - 99
\]

Thay số vào, ta có:

\[
100z + 10y + x = (100x + 10y + z) - 99
\]

Rút gọn lại, ta có:

\[
100z + 10y + x - 10y - z = 100x - 99
\]
\[
99z + x = 100x - 99
\]
\[
99z + x + 99 = 100x
\]
\[
99z + 99 = 99x
\]
\[
z + 1 = x
\]

Như vậy, từ đó được:

\[
x = z + 1
\]

Thay vào điều kiện thứ nhất:

\[
(z + 1) + z = 9
\]
\[
2z + 1 = 9
\]
\[
2z = 8
\]
\[
z = 4
\]

Tiếp theo, tính giá trị của \( x \):

\[
x = z + 1 = 4 + 1 = 5
\]

Bây giờ thay vào điều kiện \( x + z = 9 \):

\[
z = 4 \Rightarrow x = 5
\]

Với \( x = 5 \) và \( z = 4 \), tổng của ba chữ số là \( x, y, z \) là:

\[
100x + 10y + z = 100 \cdot 5 + 10y + 4 = 500 + 10y + 4 = 504 + 10y
\]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \( y \) để \( 504 + 10y \) chia hết cho 18.

Tính \( 504 \mod 18 \):

\[
504 \div 18 = 28 \quad \text{(có dư 0)}
\]

Vậy \( 504 \equiv 0 \mod 18\). Do đó, \( 504 + 10y \equiv 10y \mod 18 \).

Ta cần \( 10y \equiv 0 \mod 18 \).

Giải phương trình này, để \( 10y \) chia hết cho 18, ta thử các giá trị \( y \) từ 0 đến 9:

- \( y = 0 \Rightarrow 10 \times 0 = 0 \equiv 0 \)
- \( y = 1 \Rightarrow 10 \times 1 = 10 \equiv 10 \)
- \( y = 2 \Rightarrow 10 \times 2 = 20 \equiv 2 \)
- \( y = 3 \Rightarrow 10 \times 3 = 30 \equiv 12 \)
- \( y = 4 \Rightarrow 10 \times 4 = 40 \equiv 4 \)
- \( y = 5 \Rightarrow 10 \times 5 = 50 \equiv 14 \)
- \( y = 6 \Rightarrow 10 \times 6 = 60 \equiv 6 \)
- \( y = 7 \Rightarrow 10 \times 7 = 70 \equiv 16 \)
- \( y = 8 \Rightarrow 10 \times 8 = 80 \equiv 8 \)
- \( y = 9 \Rightarrow 10 \times 9 = 90 \equiv 0 \)

Như vậy, \( y \) có thể là 0 hoặc 9.

Tổng hợp lại, ta có các số phù hợp là:

- Nếu \( y = 0 \) thì số là 504.
- Nếu \( y = 9 \) thì số là 594.

Kết luận: Số tự nhiên tìm được là **504 và 594**.