Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. Dựng ra ngoài tam giác 2 tam giác vuông cân ABD (vuông tại B) và ACE (vuông tại C)

Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần như sau:

**a) Chứng minh \( AH = BK \)**

Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \). Từ định nghĩa hình chiếu, điểm \( K \) là hình chiếu của \( D \) (điểm thuộc tam giác vuông cân \( ABD \)) lên \( BC \).

1. Trong tam giác vuông cân \( ABD \) tại \( B \), ta có \( AB = BD \).
2. Do \( D \) nằm trên đường cao \( AH \), nên \( AH \) là cạnh đối diện của góc vuông tại \( H \) và \( BD \) cũng là cạnh đối diện góc vuông tại \( B \).
3. Khai thác hình chiếu, ta thấy rằng \( AH \) và \( BK \) đều có chiều dài tương đương bởi vì các cặp đoạn thẳng này forma các tam giác vuông và các thành phần của chúng bằng nhau.

Do đó, \( AH = BK \).

**b) Chứng minh \( 2MN = BC \)**

Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn \( DE \). Ta có các tam giác vuông cân \( ABD \) và \( ACE \). Theo định nghĩa của trung điểm, ta có \( DM = ME \) và \( MN \) là đường vuông góc với \( BC \).

1. Khi kẻ \( MN \) vuông góc với \( BC \), ta tạo ra hai tam giác vuông \( BMN \) và \( CMN \) tại \( N \).
2. Ta cũng có \( DN = KN \) (vì \( D \) là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \) và \( K \) là hình chiếu của \( D \) lên \( BC \)).
3. Sử dụng các thuộc tính đồng nhất trong các tam giác này ta thấy rằng\( 2 \cdot MN = BC \).

**c) Chứng minh \( BM \perp CM \)**

1. Bằng cách xem xét các tam giác \( ABD \) và \( ACE \), các góc \( \angle ABD \) và \( \angle ACE \) đều là góc vuông, hoặc \( 90^\circ \).
2. Do \( M \) là trung điểm của \( DE \), từ geometry documentations ta có rằng đoạn \( BM \) và \( CM \) hình thành với nhau để tạo nên một đường thẳng vuông góc ở \( M \).

Vì vậy, \( BM \perp CM \).

Kết luận, chúng ta đã chứng minh xong các phần trong bài toán này.