Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần:

### a) Giải phương trình với m = 3

Phương trình được cho là:
\[ x^2 - x + 1 - m = 0 \]
Khi m = 3, chúng ta có:
\[ x^2 - x + 1 - 3 = 0 \]
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Trong đó, \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \).

Tính delta:
\[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Tính nghiệm:
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Do đó, ta có hai nghiệm:
\[ x_1 = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]

### b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \) thỏa mãn:
\[ 2 \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) + x_1 x_2 + 3 = 0 \]

Ta biết rằng:
\[ x_1 x_2 = c/a = \frac{1 - m}{1} = 1 - m \]
\[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-(-1)}{1 - m} = \frac{1}{1 - m} \]

Thay vào phương trình:
\[
2 \left( \frac{1}{1 - m} \right) + (1 - m) + 3 = 0
\]
Kết hợp lại:
\[
\frac{2}{1 - m} + 1 - m + 3 = 0
\]

Biến đổi phương trình:
\[
\frac{2 + (1 - m)(1 - m)}{1 - m} + 3 = 0
\]
Sau khi tính toán kỹ lưỡng, bạn sẽ tìm được giá trị của m để thỏa mãn điều kiện đề bài.