Để giải phương trình \( 9x^2 - 1 = (3x + 1)(x - 3) \), trước tiên chúng ta sẽ khai triển vế bên phải.

Khai triển \( (3x + 1)(x - 3) \):
\[
(3x + 1)(x - 3) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3
\]

Giờ, chúng ta thay vào phương trình:
\[
9x^2 - 1 = 3x^2 - 8x - 3
\]

Chuyển tất cả các hạng tử về cùng một vế:
\[
9x^2 - 1 - 3x^2 + 8x + 3 = 0
\]
\[
6x^2 + 8x + 2 = 0
\]

Rút gọn phương trình:
\[
3x^2 + 4x + 1 = 0
\]

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}
\]
Trong đó \( a = 3 \), \( b = 4 \), và \( c = 1 \).

Tính \( b^2 - 4ac \):
\[
b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4
\]

Giá trị của \( x \):
\[
x = \frac{{-4 \pm \sqrt{4}}}{2 \cdot 3} = \frac{{-4 \pm 2}}{6}
\]

Tính từng nghiệm:
1. Nghiệm thứ nhất:
\[
x_1 = \frac{{-4 + 2}}{6} = \frac{{-2}}{6} = -\frac{1}{3}
\]

2. Nghiệm thứ hai:
\[
x_2 = \frac{{-4 - 2}}{6} = \frac{{-6}}{6} = -1
\]

Vậy, các nghiệm của phương trình là:
\[
x = -\frac{1}{3} \quad \text{và} \quad x = -1
\]