Để xét tính đúng/sai của các phát biểu về hàm số \( y = f(x) \) dựa vào đồ thị, ta sẽ phân tích từng phát biểu một.

### Phát biểu:
a. Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên khoảng xác định \( (-\infty; 1) \) và \( (1; +\infty) \).
**Đúng/Sai:** **Sai**.
**Giải thích:** Tại điểm \( x = 1 \) có sự thay đổi (điểm cực trị), do đó không thể đồng biến trên hai khoảng này.

b. Hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x = -1 \) và đạt cực tiểu tại \( x = 3 \).
**Đúng/Sai:** **Đúng**.
**Giải thích:** Từ đồ thị, \( x = -1 \) là điểm cực đại và \( x = 3 \) là điểm cực tiểu.

c. Đồ thị hàm số ở hình trên là của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 1} \).
**Đúng/Sai:** **Sai**.
**Giải thích:** Ta cần kiểm tra đồ thị hàm số này so với đồ thị đã cho. Thường thì chúng ta không thể xác nhận điều này mà không phân tích thêm.

d. Điểm \( M \) trên đồ thị hàm số \( f(x) \) có khoảng cách đến \( 1 \) là nhỏ nhất (với \( 1 \) là giao điểm của hai tiệm cận) với hoành độ đường \( y = \sqrt{2} + 1 \).
**Đúng/Sai:** **Sai**.
**Giải thích:** Khoảng cách đến điểm \( x = 1 \) là không nhất quán với thông tin tiệm cận, do đó cần kiểm tra thêm để xác định khoảng cách nhỏ nhất.

### Kết luận:
- a: Sai
- b: Đúng
- c: Sai
- d: Sai

Hy vọng giúp bạn!