Để tìm giá trị nguyên của \( m \) thuộc khoảng \((-3; 2024]\) cho phương trình \( 2f(x) - m = 0 \) có một nghiệm, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Xác định điều kiện nghiệm**: Từ phương trình \( 2f(x) - m = 0 \), ta có thể viết lại là \( m = 2f(x) \). Do đó, \( m \) phải nằm trong đoạn giá trị của \( 2f(x) \).

2. **Xét biểu đồ hàm số**: Nhìn vào hàm \( f(x) \), ta cần tìm giá trị của \( f(x) \) trong các khoảng và xác định giá trị của \( 2f(x) \).

- Khi \( x < 0 \): \( f(x) \to -\infty \) (giả sử thực tế)
- Khi \( x = 0 \): \( f(0) = 0 \) ⇒ \( 2f(0) = 0 \)
- Khi \( x = 1 \): \( f(1) = 2 \) ⇒ \( 2f(1) = 4 \)
- Khi \( x = 2 \): \( f(2) = 4 \) ⇒ \( 2f(2) = 8 \)
- Khi \( x > 2 \): \( f(x) \to +\infty \)

3. **Tính giá trị của \( 2f(x) \)**: Suy ra các giá trị của \( m \):
- Trong khoảng \( (-\infty, 0] \): \( 2f(x) \to -\infty \)
- \( 0 \leq f(x) \leq 4 \) khi \( 0 < x < 1 \)
- \( 2f(x) \) đạt tối đa tại \( x = 2 \): Từ \( 0 \) đến \( 8 \) ở các khoảng này.

4. **Xác định khoảng giá trị**: Vậy giá trị của \( m \) sẽ nằm trong khoảng \( (-\infty, 8] \).

5. **Giải bài toán**:
- Giá trị nguyên của \( m \) nằm trong khoảng \((-3, 8]\).
- Giá trị nguyên có thể là: \( -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \).
- Tổng cộng có \( 11 \) giá trị nguyên (\(-2\) đến \(8\)).

Do đó, tổng số giá trị nguyên của \( m \) thuộc \( (-3; 2024] \) để phương trình có một nghiệm là \( 11 \).

6. **Đáp án là**: Bài toán yêu cầu đếm các giá trị trong khoảng, không liên quan trực tiếp đến lựa chọn \( A, B, C, D \) mà bạn cung cấp, nhưng từ cách tính số lượng là 11 giá trị nguyên. Bạn xác nhận các đáp án trên là từ nguồn khác hay kiểm tra lại cho chính xác.