Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

**a) Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm:**

Phương trình đã cho là:

\[
x^2 + 2(m+1)x + m^2 = 0
\]

Để phương trình có nghiệm, điều kiện cần thiết và đủ là delta (\( \Delta \)) của phương trình phải không âm. Delta được tính bởi:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = [2(m+1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot m^2
\]

Tính delta:

\[
\Delta = 4(m+1)^2 - 4m^2
\]
\[
= 4(m^2 + 2m + 1 - m^2)
\]
\[
= 4(2m + 1) = 8m + 4
\]

Để phương trình có nghiệm, ta có:

\[
\Delta \geq 0 \implies 8m + 4 \geq 0 \implies 8m \geq -4 \implies m \geq -\frac{1}{2}
\]

**Kết luận:** \( m \geq -\frac{1}{2} \).

---

**b) Tìm \( m \) để phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) sao cho:**

\[
x_1^2 + x_2^2 - 5x_1x_2 = 13
\]

Sử dụng công thức của tổng và tích nghiệm:

\[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2(m+1) \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} = m^2
\]

Từ công thức tổng của bình phương:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]

Thay vào phương trình đã cho:

\[
(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 5x_1x_2 = 13 \implies (x_1 + x_2)^2 - 7x_1x_2 = 13
\]

Thay \( x_1 + x_2 \) và \( x_1 x_2 \):

\[
[-2(m+1)]^2 - 7m^2 = 13
\]
\[
4(m+1)^2 - 7m^2 = 13
\]

Tính toán:

\[
4(m^2 + 2m + 1) - 7m^2 = 13
\]
\[
4m^2 + 8m + 4 - 7m^2 = 13
\]
\[
-3m^2 + 8m + 4 - 13 = 0
\]
\[
-3m^2 + 8m - 9 = 0
\]

Nhân với -1:

\[
3m^2 - 8m + 9 = 0
\]

Giải phương trình bằng công thức nghiệm:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 64 - 108 = -44
\]

Vì delta âm, phương trình này không có nghiệm thực.

**Kết luận:** Không có giá trị \( m \) nào thoả mãn yêu cầu của b).