Để giải bài toán này, ta có các thông tin sau:

1. Tổng số học sinh trúng tuyển trường A: \( 0.97 \times x \) (với \( x \) là số học sinh dự thi của trường A).
2. Tổng số học sinh trúng tuyển trường B: \( 0.96 \times y \) (với \( y \) là số học sinh dự thi của trường B).
3. Tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường A và B là 338.

Ta có phương trình:

\[
0.97x + 0.96y = 338
\]

Ngoài ra, tổng số học sinh dự thi của hai trường A và B là 350:

\[
x + y = 350
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình gồm hai phương trình:

1. \( 0.97x + 0.96y = 338 \)
2. \( x + y = 350 \)

Thay \( y = 350 - x \) vào phương trình thứ nhất:

\[
0.97x + 0.96(350 - x) = 338
\]

Giải phương trình này:

\[
0.97x + 336 - 0.96x = 338
\]

\[
0.01x + 336 = 338
\]

\[
0.01x = 2
\]

\[
x = 200
\]

Dùng giá trị \( x \) để tìm \( y \):

\[
y = 350 - 200 = 150
\]

Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200 và trường B là 150.