### Bài 4:

#### a) Giải phương trình khi \( m = 1 \)

Ta có phương trình:

\[
\sqrt{x^2 - 1} - x = 1
\]

Chuyển vế:

\[
\sqrt{x^2 - 1} = x + 1
\]

Bình phương hai vế:

\[
x^2 - 1 = (x + 1)^2
\]

Khai triển:

\[
x^2 - 1 = x^2 + 2x + 1
\]

Rút gọn:

\[
-1 = 2x + 1 \implies 2x = -2 \implies x = -1
\]

Xét tính hợp lệ của nghiệm:

\[
\sqrt{(-1)^2 - 1} = \sqrt{0} = 0
\]

Nên nghiệm \( x = -1 \) là hợp lệ.

#### b) Tìm \( m \) để phương trình có nghiệm

Để phương trình \( \sqrt{x^2 - 1} - x = m \) có nghiệm, ta cần điều kiện:

\[
\sqrt{x^2 - 1} \geq 0 \implies x^2 - 1 \geq 0 \implies |x| \geq 1
\]

Vì \( m \) và \( x \) phụ thuộc vào nhau, ta xét hai trường hợp \( x \geq 1 \) và \( x \leq -1 \).

1. **Khi \( x \geq 1 \)**:
\[
\sqrt{x^2 - 1} - x = m \implies \sqrt{x^2 - 1} = x + m
\]
Bình phương hai vế:
\[
x^2 - 1 = (x + m)^2 \implies x^2 - 1 = x^2 + 2mx + m^2
\]
Rút gọn:
\[
-1 = 2mx + m^2 \implies 2mx + m^2 + 1 = 0
\]

Phương trình này cần có nghiệm thực với \( x \geq 1\):
- Tính discriminant \( \Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 1) = 4m^2 - 4(m^2 + 1) = -4 \).

Vậy phương trình này không bao giờ có nghiệm thực.

2. **Khi \( x \leq -1 \)**:
\[
\sqrt{x^2 - 1} - x = m \implies \sqrt{x^2 - 1} = x + m
\]
Bình phương lại như trên và xét dấu:

Vậy điều kiện \( m \) được tính từ việc xác định giá trị của hàm. Tìm giới hạn và nghiên cứu hàm số sẽ cho ta giá trị của \( m \).

Trong trường hợp này, phương trình có nghiệm nếu:

\[
m \leq -1
\]

### Bài 5:

#### a) Giải phương trình khi \( m = 3 \)

Phương trình trở thành:

\[
\sqrt{2x^2 + 3x - 3} = x - 3
\]

Bình phương:

\[
2x^2 + 3x - 3 = (x - 3)^2 \implies 2x^2 + 3x - 3 = x^2 - 6x + 9
\]

Rút gọn:

\[
x^2 + 9x - 12 = 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
\Delta = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 81 + 48 = 129
\]

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm:

\[
x = \frac{-9 \pm \sqrt{129}}{2}
\]

Xét tính hợp lệ của nghiệm, cần \( x - 3 \geq 0 \).

#### b) Với giá trị nào của \( m \) thì phương trình có nghiệm

Tương tự như Bài 4, ta cần điều kiện cho \( m \).

Phương trình \( \sqrt{2x^2 + mx - 3} = x - m \):

Xét các trường hợp với \( m \):

1. Sử dụng quá trình bình phương tương tự và tính điều kiện cho \( m \) thông qua khảo sát dấu.

Tóm lại, \( m \) cần có giá trị trong khoảng một số giới hạn nào đó để đảm bảo phương trình có nghiệm.