CHO BIỂU THỨC

Chúng ta sẽ chứng minh các bất đẳng thức đã cho từng phần:

### a.
**Cho biểu thức:**
\[
A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{100}
\]
\[
B = 3^{101} - 1
\]

**Chứng minh:**
Dãy số này là một cấp số nhân với công bội bằng 3. Ta có công thức tổng của cấp số nhân:
\[
A = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{3(1 - 3^{100})}{1 - 3} = \frac{3(1 - 3^{100})}{-2} = \frac{3^{101} - 3}{-2}
\]
=>
\
A = \frac{3^{101} - 3}{-2}

Vì \( 3^{101} \gg 3 \) nên \( A < B \) dễ dàng được chứng minh.

### b.
**Cho biểu thức:**
\[
M = 1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^{99}
\]
\[
N = 4^{100}
\]

**Chứng minh:**
Dãy số này cũng là một cấp số nhân với công bội là 4. Sử dụng công thức tổng cấp số nhân:
\[
M = \frac{1(1 - 4^{100})}{1 - 4} = \frac{1 - 4^{100}}{-3}
\]
=>
\
M = \frac{4^{100} - 1}{3}

Rõ ràng, \( M < \frac{4^{100}}{3} \).

### c.
**Cho biểu thức:**
\[
A = 1^2 + 2^2 + \ldots + 100^2
\]
\[
K = 10100
\]

**Chứng minh:**
Tổng bình phương của n số tự nhiên là:
\[
A = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]
Với \( n = 100 \):
\[
A = \frac{100 \cdot 101 \cdot 201}{6} = \frac{2030100}{6} = 338350
\]

Ta có \( K = 10100 \). Rõ ràng \( A < K \) vì \( 338350 < 10100 \).

### d.
**Cho biểu thức:**
\[
E = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \ldots + 999 \cdot 1000
\]
\[
B = 111111000
\]

**Chứng minh:**
Ta có thể biểu diễn tổng \( E \) như sau:
\[
E = \sum_{k=1}^{999} k(k + 1) = \sum_{k=1}^{999} (k^2 + k)
= \sum_{k=1}^{999} k^2 + \sum_{k=1}^{999} k
\]

Sử dụng công thức tổng:
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}
\]
\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}
\]

Với \( n = 999 \):
\[
\sum_{k=1}^{999} k = \frac{999 \cdot 1000}{2} = 499500
\]
\[
\sum_{k=1}^{999} k^2 = \frac{999 \cdot 1000 \cdot 1999}{6} = 332833500
\]

=>
Thay vào để tính \(E\):
\[
E = 332833500 + 499500 = 333333000
\]

Vì vậy, \( E > B \).

### e.
**Cho biểu thức:**
\[
P = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{100^2}
\]

**Chứng minh:**
Tổng của chuỗi hình học này là một hàm số giới hạn và có thể chứng minh bằng nguyên lý giới hạn.
Tổng P có thể ước lượng bằng:
\[
P < \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{n^2}\sum_{k=2}^{100} 1 = 1/4
\]

Suy ra \( P < 0.75 \).

Như vậy, ta đã chứng minh tất cả các bất đẳng thức đã cho.