Để giải bất phương trình \( 2x^2 - 9x + 5 > 1 \), trước tiên chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một bên:

\[
2x^2 - 9x + 5 - 1 > 0
\]

Điều này có thể đơn giản hóa thành:

\[
2x^2 - 9x + 4 > 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ dùng phương pháp phân tích nghiệm hoặc công thức nghiệm để tìm ra các nghiệm của phương trình:

\[
2x^2 - 9x + 4 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 2 \), \( b = -9 \), và \( c = 4 \).

Đầu tiên, chúng ta tính delta (\( \Delta \)):

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49
\]

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Bây giờ chúng ta tính các nghiệm:

\[
x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4}
\]

Tính các nghiệm cụ thể:

1. \( x_1 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
2. \( x_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

Vậy hai nghiệm của phương trình là \( x_1 = 4 \) và \( x_2 = \frac{1}{2} \).

Bây giờ, ta sẽ vẽ trục số và chia thành ba khoảng dựa trên các nghiệm:

1. \( (-\infty, \frac{1}{2}) \)
2. \( \left(\frac{1}{2}, 4\right) \)
3. \( (4, +\infty) \)

Chúng ta sẽ chọn một số thuộc mỗi khoảng để kiểm tra bất phương trình \( 2x^2 - 9x + 4 > 0 \):

1. Chọn \( x = 0 \) trong khoảng \( (-\infty, \frac{1}{2}) \):
\[
2(0)^2 - 9(0) + 4 = 4 > 0 \quad \Rightarrow \text{Đúng}
\]

2. Chọn \( x = 1 \) trong khoảng \( \left(\frac{1}{2}, 4\right) \):
\[
2(1)^2 - 9(1) + 4 = 2 - 9 + 4 = -3 < 0 \quad \Rightarrow \text{Sai}
\]

3. Chọn \( x = 5 \) trong khoảng \( (4, +\infty) \):
\[
2(5)^2 - 9(5) + 4 = 50 - 45 + 4 = 9 > 0 \quad \Rightarrow \text{Đúng}
\]

Từ đó, ta có kết luận:

- Bất phương trình \( 2x^2 - 9x + 4 > 0 \) đúng trong các khoảng: \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) và \( (4, +\infty) \).

Vậy nghiệm của bất phương trình \( 2x^2 - 9x + 5 > 1 \) là:

\[
x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (4, +\infty)
\]