Để giải phương trình \( \cos\left(\frac{\pi}{3} - 6x\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), ta cần tìm các giá trị của \( x \).

Bước 1: Xác định các góc mà cosine bằng \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\):
\[
\frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Bước 2: Sử dụng tính chất của cosine:
\[
\frac{\pi}{3} - 6x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad \frac{\pi}{3} - 6x = \frac{5\pi}{4} + k\pi
\]

Bước 3: Giải cho từng trường hợp.

**Trường hợp 1:**
\[
\frac{\pi}{3} - 6x = \frac{3\pi}{4} + k\pi
\]
\[
6x = \frac{\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} - k\pi
\]
\[
6x = \frac{4\pi}{12} - \frac{9\pi}{12} - k\pi
\]
\[
6x = -\frac{5\pi}{12} - k\pi
\]
\[
x = -\frac{5\pi}{72} - \frac{k\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

**Trường hợp 2:**
\[
\frac{\pi}{3} - 6x = \frac{5\pi}{4} + k\pi
\]
\[
6x = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{4} - k\pi
\]
\[
6x = \frac{4\pi}{12} - \frac{15\pi}{12} - k\pi
\]
\[
6x = -\frac{11\pi}{12} - k\pi
\]
\[
x = -\frac{11\pi}{72} - \frac{k\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

**Kết luận:**
Tùy theo cách lựa chọn trường hợp, các đáp án A, B, C, D có thể chứa các biểu thức khác nhau. Tuy nhiên, những gì đã lặp lại có thể là trường hợp của \( -\frac{5\pi}{72} - \frac{k\pi}{6} \).

So sánh với các đáp án:
- A: \( x = -\frac{5\pi}{72} + k\cdot2\pi \)
- B: \( x = \frac{7\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \)
- C: \( x = -\frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \)
- D: \( x = \frac{13\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \)

**Đáp án đúng là C:**
\[
x = -\frac{5\pi}{72} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]