Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất cơ bản của hình học.

**Giả sử:**
- Hình chữ nhật ABCD có các đỉnh:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2b, 0) \)
- \( C(2b, b) \)
- \( D(0, b) \)

Vì \( AB = 2BC \) nên ta có: \( AB = 2b \) và \( BC = b \).

**Gọi E và F là trung điểm của AB và CD:**
- Điểm trung bình E của AB:
\[
E\left( \frac{0 + 2b}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (b, 0)
\]
- Điểm trung bình F của CD:
\[
F\left( \frac{0 + 2b}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = (b, b)
\]

**a) Chứng minh tứ giác ADFE là hình vuông:**

- Để chứng minh ADEF là hình vuông, ta cần chứng minh:
- Các cạnh ADF và AE bằng nhau.
- Goc ADF và AFE là 90 độ.

1. **Cạnh AE:**
\[
AE = b - 0 = b
\]

2. **Cạnh AF:**
\[
AF = b - 0 = b
\]

3. **Cạnh DE:**
\[
DE = b - 0 = b
\]

4. **Cạnh DF:**
\[
DF = b - 0 = b
\]

5. **Góc ADF:**
- Đường thẳng AD nằm dọc theo trục y, đường thẳng AE nằm ngang, do đó, chúng cắt nhau vuông góc.
6. **Góc AFE:**
- Đường AF cắt DF tại điểm E tạo góc vuông.

Kết luận: Các cạnh của tứ giác ADEF đều bằng nhau và hai góc vuông chứng tỏ ADEF là hình vuông.

**b) Chứng minh tứ giác BFDE là hình bình hành:**

Để chứng minh BFDE là hình bình hành, ta chỉ cần chứng minh các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

1. **Cạnh BF:**
- BF có chiều dài là:
\[
BF = \sqrt{(b - 2b)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(b)^2 + (b)^2} = b\sqrt{2}
\]

2. **Cạnh DE:**
- DE là:
\[
DE = b
\]

**Cặp cạnh DE và BF:**
- Hai cặp BE và DF cũng sẽ có độ dài bằng nhau.

Kết luận: Vì các cặp cạnh đối diện của tứ giác BFDE đều bằng nhau, nên BFDE là hình bình hành.

**c) Tứ giác MENF là hình gì? Vì sao?**

1. Thứ nhất, để xác định MENF là hình gì, ta cần xem xét các điểm M và N là giao điểm của các đoạn nối AF và ED, và BF và CE.
2. Do tứ giác ADEF là hình vuông, EF là trung bình của chiều cao, do đó M và N đều sẽ nằm giữa chiều rộng này.

Kết quả là ta có một tứ giác mà hai cạnh đối diện là ngang nhau và song song, chứng tỏ MENF là một hình chữ nhật.

Tóm lại:
- Tứ giác ADEF là hình vuông.
- Tứ giác BFDE là hình bình hành.
- Tứ giác MENF là hình chữ nhật.