Tìm số tự nhiên n để P là số nguyên tố

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( P \) là số nguyên tố được cho bởi công thức:

\[ P = 3n^3 - 5n^2 + 34n - 5 \]

Chúng ta bắt đầu bằng cách thử một số giá trị của \( n \) từ 0 trở đi để kiểm tra giá trị của \( P \) và xem nó có phải là số nguyên tố hay không.

1. \( n = 0 \):
\[
P = 3(0)^3 - 5(0)^2 + 34(0) - 5 = -5 \quad (\text{không phải là nguyên tố})
\]

2. \( n = 1 \):
\[
P = 3(1)^3 - 5(1)^2 + 34(1) - 5 = 3 - 5 + 34 - 5 = 27 \quad (\text{không phải là nguyên tố})
\]

3. \( n = 2 \):
\[
P = 3(2)^3 - 5(2)^2 + 34(2) - 5 = 24 - 20 + 68 - 5 = 67 \quad (\text{là số nguyên tố})
\]

4. \( n = 3 \):
\[
P = 3(3)^3 - 5(3)^2 + 34(3) - 5 = 81 - 45 + 102 - 5 = 133 \quad (\text{không phải là nguyên tố, chia hết cho 7})
\]

5. \( n = 4 \):
\[
P = 3(4)^3 - 5(4)^2 + 34(4) - 5 = 192 - 80 + 136 - 5 = 243 \quad (\text{không phải là nguyên tố, chia hết cho 3})
\]

6. \( n = 5 \):
\[
P = 3(5)^3 - 5(5)^2 + 34(5) - 5 = 375 - 125 + 170 - 5 = 415 \quad (\text{không phải là nguyên tố, chia hết cho 5})
\]

7. Tiếp tục thử các giá trị \( n \):
- \( n = 6 \) đến \( n = 10 \) sẽ cần phải tính toán tương tự.

Kết quả tìm được cho đến giờ là:

- Số nguyên tố duy nhất tìm thấy là khi \( n = 2 \) với giá trị \( P = 67 \).

Vì vậy, \( n = 2 \) là một số tự nhiên để \( P \) là số nguyên tố.

Tiếp tục kiểm tra các giá trị lớn hơn nếu cần để tìm thêm số nghiệm.