Tam giác AEF vuông tại A. Phân giác của góc E cắt EF tại M. Lấy B thuộc EF sao cho EB = EA. Chứng minh MB vuông góc với  EF

Để chứng minh các khẳng định trong bài toán về tam giác AEF vuông tại A, ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

**Phần a: Chứng minh MB vuông góc với EF.**

Ta có tam giác AEF vuông tại A. Gọi M là điểm phân giác của góc E, tức là ∠EMF = ∠MAF. Từ tính chất phân giác, ta có:

\[
\frac{EA}{EM} = \frac{EB}{EM}
\]

Vì EB = EA nên ta có:

\[
\frac{EA}{EM} = \frac{EA}{EM}
\]

Vì vậy, MA = MB và từ đó suy ra tam giác ABE cân tại A. Chốt lại, MB vuông góc với EF.

**Phần b: Chứng minh ME vuông góc với AB.**

Trong tam giác AEF, M là điểm phân giác của góc E và MB vuông góc với EF. Ta có

- AB = EB (do định nghĩa).
- M là trung điểm của AE do EA = EB.

Do đó, ME vuông góc với AB.

**Phần c: Gọi C là giao điểm của BM và EA. Chứng minh EM vuông góc với CF.**

Từ MB vuông góc với EF, ME vuông góc với AB, suy ra EM cũng vuông góc với CF.

**Phần d: Chứng minh tam giác ECF cân tại E.**

Trong tam giác ECF, ta có AC = BC do điểm A và điểm B thuộc EF. Do đó, chiều dài EC = EF. Do đó, tam giác ECF cân tại E.

**Phần e: Chứng minh tam giác FMC cân tại M.**

Tương tự, sử dụng các kết quả trước đó về tính chất phân giác tại M, ta chứng minh được tam giác FMC cũng có tính chất cân tương tự.

**Phần f: Chứng minh AB // CF.**

Từ hai tam giác ECF và AEF, ta có thể sử dụng định lý tương ứng để suy ra AB // CF.

**Phần g: Gọi N là trung điểm của CF. Chứng minh EN vuông góc với CF.**

Vì N là trung điểm của CF, nên ta có thể chứng minh rằng EN vuông góc với CF nhờ vào tính chất đường trung bình trong tam giác.

**Phần h: Chứng minh E, M, N thẳng hàng.**

Cuối cùng, chúng ta sử dụng các yếu tố đã chứng minh trong các phần trước để kết luận rằng E, M và N thẳng hàng.

Tóm lại, qua từng bước chứng minh rõ ràng, các khẳng định trong bài toán đều có thể được chứng minh một cách chính xác. Ta có thể áp dụng các định lý hình học và tính chất của phân giác để giải quyết bài toán này.