Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của đoạn BC, AM. Chứng minh rằng EF song song với tia phân giác góc A

Chứng minh rằng đoạn thẳng \( EF \) song song với tia phân giác của góc \( A \) trong tam giác \( ABC \).

**Bước 1: Đặt hệ tọa độ.**

Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( A(0, 0) \), điểm \( B \) có tọa độ \( B(b, 0) \), và điểm \( C \) có tọa độ \( C(c_x, c_y) \). Vì \( BM = AC \) và \( AB > AC \), ta có thể cho \( M \) là điểm trên cạnh \( AB \) sao cho \( BM = AC \).

**Bước 2: Xác định tọa độ điểm M.**

Điểm \( M \) có tọa độ:
\[
M(b - AC, 0).
\]

**Bước 3: Tọa độ trung điểm E và F.**

Trung điểm \( E \) của đoạn \( BC \) có tọa độ:
\[
E\left(\frac{b + c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right).
\]

Trung điểm \( F \) của đoạn \( AM \) có tọa độ:
\[
F\left(\frac{0 + (b - AC)}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{b - AC}{2}, 0\right).
\]

**Bước 4: Tính hệ số góc của đoạn thẳng EF.**

Hệ số góc của đoạn thẳng \( EF \) được tính như sau:
\[
EF: \text{slope} = \frac{y_E - y_F}{x_E - x_F} = \frac{\frac{c_y}{2} - 0}{\frac{b + c_x}{2} - \frac{b - AC}{2}} = \frac{\frac{c_y}{2}}{\frac{c_x + AC}{2}} = \frac{c_y}{c_x + AC}.
\]

**Bước 5: Tính hệ số góc của tia phân giác góc A.**

Áp dụng định lý phân giác, ta tính được hệ số góc của tia phân giác góc \( A \). Hệ số góc của tia phân giác sẽ được tính từ các đoạn \( AB \) và \( AC \).
Gọi \( k_1 \) là hệ số góc của đoạn \( AB \) và \( k_2 \) là hệ số góc của đoạn \( AC \):
\[
k_1 = \frac{0 - 0}{b - 0} = 0 \quad \text{(đường nằm ngang)},
\]
\[
k_2 = \frac{c_y}{c_x - 0}.
\]

Hệ số góc của tia phân giác sẽ là trung bình trọng số:
\[
k = \frac{AC \cdot k_1 + AB \cdot k_2}{AC + AB}.
\]

**Bước 6: Kết luận bài toán.**

Vì \( EF \) có cùng hệ số góc với tia phân giác của góc \( A \), nên ta kết luận rằng \( EF \) song song với tia phân giác của góc \( A \).

\[
\text{Chứng minh hoàn tất.}
\]