Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất về tam giác và các tỉ lệ giữa các cạnh.

**a)** Chứng minh: Tam giác ABM = Tam giác DCM

- Ta có M là trung điểm của BC nên \( BM = MC \).
- Từ định nghĩa, \( MD = MA \).
- Áp dụng quy tắc gương (hoặc phản xạ) với đường AM, ta có:
- Góc \( \angle ABM = \angle DCM \) (góc chung tại M).
- Cạnh tương ứng: \( \frac{AB}{DC} = \frac{AM}{CM} \) do \( AM=MD \) và \( CM=MB \).

Do đó, từ tỷ lệ cạnh và góc tương ứng, ta suy ra rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác DCM.

Ưu điểm là chúng ta có thể nói rằng, khi AMA kéo dài và MA = MD, thì việc phản xạ này xác nhận rằng hai tam giác này là giống nhau.

**b)** Chứng minh: Tam giác ABD = Tam giác DCA

Áp dụng cách lập luận tương tự như trên:

- Ta có tam giác ABD và DCA.
- Cạnh AD là cạnh chung giữa hai tam giác.
- Tương tự, \( AM = MD \) vừa cho thấy rằng chiều dài BM = MC.
- Về góc, \( \angle ABD = \angle DCA \) (góc tại A).

Khi đó, chúng ta có các tỉ lệ cạnh và góc tương ứng từ các điều kiện của hình học. Do vậy, từ việc đấu nối các cạnh và góc tương ứng, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng:

Tam giác ABD = Tam giác DCA.

**Kết luận:**
- Mệnh đề a chứng minh rằng tam giác ABM đồng dạng với tam giác DCM.
- Mệnh đề b chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác DCA.

Như vậy, cả hai mệnh đề đều đã được chứng minh.