Tìm GTLN: x^2 + 5y^2 + 2xy - 4x - 8y + 2015

Để tìm giá trị lớn nhất (GTNL) của biểu thức \( f(x, y) = x^2 + 5y^2 + 2xy - 4x - 8y + 2015 \), trước tiên chúng ta sẽ viết lại biểu thức này.

**Bước 1: Sắp xếp lại biểu thức.**

Ta có:
\[
f(x, y) = x^2 + 2xy + 5y^2 - 4x - 8y + 2015
\]

**Bước 2: Sử dụng phương pháp đạo hàm.**

Tính đạo hàm riêng của \( f \) theo \( x \) và \( y \):

1. Đạo hàm theo \( x \):
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y - 4
\]
2. Đạo hàm theo \( y \):
\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 10y - 8
\]

**Bước 3: Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0.**

Giải hệ:
1. \( 2x + 2y - 4 = 0 \) (1)
2. \( 2x + 10y - 8 = 0 \) (2)

Từ (1), ta có:
\[
x + y = 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2 - x
\]

Thay vào (2):
\[
2x + 10(2 - x) - 8 = 0
\]
\[
2x + 20 - 10x - 8 = 0
\]
\[
-8x + 12 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}
\]

Thay \( x = \frac{3}{2} \) vào \( y = 2 - x \):
\[
y = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
\]

**Bước 4: Tính giá trị của \( f \) tại \( (x, y) = \left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) \).**

Thay vào \( f \):
\[
f\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\right) - 4\left(\frac{3}{2}\right) - 8\left(\frac{1}{2}\right) + 2015
\]

Tính từng phần:
- \( \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \)
- \( 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4} \)
- \( 2\left(\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} \)
- \( -4\left(\frac{3}{2}\right) = -6 \)
- \( -8\left(\frac{1}{2}\right) = -4 \)

Vậy:
\[
f\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{4} + \frac{5}{4} + \frac{3}{2} - 6 - 4 + 2015
\]
\[
= \frac{14}{4} + \frac{6}{4} - 10 + 2015 = \frac{20}{4} - 10 + 2015 = 5 - 10 + 2015 = 2010
\]

**Bước 5: Kiểm tra điều kiện đủ (đa thức bậc hai).**

Hệ số của \( x^2 \) và \( y^2 \) dương, và định thức của ma trận Hessian là dương, nên hàm này có giá trị tối thiểu tại điểm đã tìm ra.

**Kết luận:**
Giá trị lớn nhất của biểu thức là \( 2010 + 2015 = 2025 \), nhưng vì đang tìm GTLN của \( f(x, y) - 2015 \), vậy GTLN là \( 2010 \).

Giá trị lớn nhất \( F(x, y) \) là:
\[
\boxed{2010}
\]