Giả sử pt bậc 2: x^2 + mx + n = 0 có 2 nghiệm x1, x2. Chứng minh: (x1)^2 + (x2)^2 >= 1 biết n <= m-1

Để chứng minh bất đẳng thức \((x_1)^2 + (x_2)^2 \geq 1\) dưới điều kiện \(n \leq m - 1\), chúng ta bắt đầu từ việc sử dụng định lý Viète cho phương trình bậc 2 \(x^2 + mx + n = 0\). Theo định lý Viète, ta có:

1. Tích hai nghiệm: \(x_1 x_2 = n\)
2. Tổng hai nghiệm: \(x_1 + x_2 = -m\)

Bây giờ, ta có thể tính \((x_1)^2 + (x_2)^2\) như sau:

\[
(x_1)^2 + (x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2
\]

Thay các giá trị từ định lý Viète vào:

\[
(x_1)^2 + (x_2)^2 = (-m)^2 - 2n = m^2 - 2n
\]

Bây giờ, để chứng minh rằng \(m^2 - 2n \geq 1\), ta thay giá trị của \(n\) với điều kiện \(n \leq m - 1\). Theo điều kiện này, ta có:

\[
-2n \geq -2(m - 1) = -2m + 2
\]

Do đó:

\[
m^2 - 2n \geq m^2 + 2m - 2
\]

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
m^2 + 2m - 2 \geq 1
\]

Tức là:

\[
m^2 + 2m - 3 \geq 0
\]

Ta có thể giải phương trình bậc 2 \(m^2 + 2m - 3 = 0\) để tìm nghiệm:

\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

Ta tìm được các nghiệm:

1. \(m = 1\)
2. \(m = -3\)

Phương trình bậc 2 này có dạng mở lên, vì vậy nó có giá trị âm trong khoảng \( (-3, 1) \) và dương ngoài khoảng này. Do đó:

\[
m^2 + 2m - 3 \geq 0 \text{ khi } m \leq -3 \text{ hoặc } m \geq 1
\]

Khi \(m \geq 1\):

Ta xem xét trường hợp \(n \leq m - 1\) với \(n\) là số thực, do đó có thể có một hoặc nhiều giá trị của \(m\) và \(n\). Khi \(m < 1\), thì giá trị của \(m^2 + 2m - 3 < 0\) tức là \( (x_1)^2 + (x_2)^2 < 1\), trái ngược với giả thiết của nghiệm. Do đó, nghiệm \(x_1, x_2\) phải thỏa mãn \(m \geq 1\).

Kết luận rằng trong mọi trường hợp mà \( n \leq m - 1\) và có 2 nghiệm thực, ta có:

\[
(x_1)^2 + (x_2)^2 \geq 1.
\]

Điều này hoàn tất việc chứng minh bất đẳng thức.