Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước.

### a) Tìm chiều cao của hình thang

Hình thang ABCD có đáy CD = 2AB, tức là CD = 2 * 11,5 m = 23 m.

Diện tích của hình thang được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2}
\]
Trong đó:
- \( S \) là diện tích
- \( AB \) là độ dài đáy nhỏ
- \( CD \) là độ dài đáy lớn
- \( h \) là chiều cao

Ta đã biết:
- Diện tích \( S = 241,5 \text{ cm}^2 = 0,02415 \text{ m}^2 \) (Chuyển đổi từ cm² sang m²)
- \( AB = 11,5 \text{ m} \)
- \( CD = 23 \text{ m} \)

Thay vào công thức diện tích:
\[
0,02415 = \frac{(11,5 + 23) \cdot h}{2}
\]
\[
0,02415 = \frac{34,5 \cdot h}{2}
\]
\[
0,02415 = 17,25 \cdot h
\]
Từ đó ta tìm chiều cao \( h \):
\[
h = \frac{0,02415}{17,25} \approx 0,0014 \text{ m} = 1,4 \text{ mm}
\]

### b) So sánh đoạn BN với đoạn AB

Theo bài toán, kéo dài AB về phía B một đoạn BN sao cho diện tích tam giác BNC bằng diện tích hình thang ABCD.

Diện tích tam giác BNC được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{BNC}
\]
Trong đó \( h_{BNC} \) là chiều cao từ điểm N đến đáy BC. Do tam giác BNC và hình thang ABCD có diện tích bằng nhau, ta có:
\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_{BNC} = S
\]

Từ đó suy ra chiều cao \( h_{BNC} \):
\[
\frac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot h_{BNC} = 0,02415
\]
\[
11,5 \cdot h_{BNC} = 0,0483
\]
\[
h_{BNC} = \frac{0,0483}{11,5} \approx 0,0042 \text{ m} = 4,2 \text{ mm}
\]

### So sánh đoạn BN với đoạn AB:

Ta đã có:
- Đoạn AB = 11,5 m
- Đoạn BN = chiều cao h_{BNC} = 4,2 mm

Giá trị \( 4,2 \text{ mm} \) lớn hơn \( 0 \) nhưng nhỏ hơn \( 11,5 \text{ m} \), do đó:
\[
BN < AB
\]

Vậy đoạn BN ngắn hơn đoạn AB.