Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( B = 2x^2 + y^2 + 2xy - 8x + 2028 \), ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Sắp xếp lại biểu thức**:
\[
B = 2x^2 + 2xy + y^2 - 8x + 2028
\]
Nhận thấy \( 2x^2 + 2xy + y^2 \) có thể được viết dưới dạng:
\[
B = (x+y)^2 + 2x^2 - 8x + 2028
\]

2. **Đặt lại**:
Đặt \( z = x + y \), ta có:
\[
B = (z^2 - 8x) + 2x^2 + 2028
\]

3. **Giải đạo hàm**:
Để tìm cực trị, ta có thể tìm đạo hàm. Tuy nhiên, thay vì tìm đạo hàm, ta có thể giải hệ phương trình:

Tìm điều kiện tối ưu:
- Tìm tối ưu theo x trước (giữ y cố định) và sau đó tối ưu theo y.
- Hoặc dùng phương pháp hoàn thành bình phương.

4. **Hoàn thành bình phương**:
Giải quyết từng phần:
\[
2x^2 + 2xy - 8x = 2(x^2 + xy - 4x)
\]
Hoàn thành bình phương cho \( x^2 + xy - 4x \):
\[
= \left(x - 2 + \frac{y}{2}\right)^2 - \left(2 - \frac{y}{2}\right)^2
\]

5. **Tính giá trị nhỏ nhất**:
Vậy giá trị cực tiểu sẽ đạt được giá trị nhỏ nhất khi \( \left(2 - \frac{y}{2}\right)^2 = 0 \), tức là:
\[
y = 4
\]

Thay vào tìm x:
- Với \( y = 4 \): \( 2x^2 + 2(4)x - 8x + 2028 \) sẽ đơn giản hơn.

6. **Tính B** với y:
\[
B = 2(x - 2)^2 + 2028 - 8 \quad \text{(cho x = 2)}
\]

Kết quả:
Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( 2020 \).