Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm diễn tả bởi \( A = (x-1)^4 + (x-3)^4 + 6(x-1)^2(x-3)^2 \), ta có thể biến đổi hàm.

Đặt \( y = x - 2 \), thì ta có:

- \( x - 1 = y + 1 \)
- \( x - 3 = y - 1 \)

Thay vào biểu thức của \( A \):

\[
A = (y + 1)^4 + (y - 1)^4 + 6(y + 1)^2(y - 1)^2
\]

Bây giờ, hãy tính từng thành phần:

1. \( (y + 1)^4 + (y - 1)^4 \):
- Sử dụng định lý nhị thức, ta có:

\[
(y + 1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1
\]
\[
(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1
\]

Cộng hai biểu thức lại:

\[
(y + 1)^4 + (y - 1)^4 = 2y^4 + 12y^2 + 2
\]

2. \( 6(y + 1)^2(y - 1)^2 \):
- Tính \( (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1 \) và \( (y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1 \):

\[
(y + 1)^2(y - 1)^2 = (y^2 + 2y + 1)(y^2 - 2y + 1) = y^4 - 4y^2 + 1
\]

Do đó,

\[
6(y + 1)^2(y - 1)^2 = 6(y^4 - 4y^2 + 1) = 6y^4 - 24y^2 + 6
\]

3. Kết hợp các kết quả:

\[
A = (2y^4 + 12y^2 + 2) + (6y^4 - 24y^2 + 6)
\]

Sắp xếp lại ta được:

\[
A = 8y^4 - 12y^2 + 8
\]

Ta có thể tiếp tục tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \) bằng cách lấy đạo hàm.

Tính đạo hàm:

\[
A' = 32y^3 - 24y
\]

Đặt \( A' = 0 \):

\[
32y^3 - 24y = 0 \implies 8y(4y^2 - 3) = 0
\]

Các nghiệm của phương trình là:

1. \( y = 0 \)
2. \( 4y^2 - 3 = 0 \implies y^2 = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Tính \( A \) tại các điểm này để tìm giá trị nhỏ nhất:

- Với \( y = 0 \):

\[
A(0) = 8(0)^4 - 12(0)^2 + 8 = 8
\]

- Với \( y = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[
A\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 12\left(\frac{3}{4}\right) + 8
\]

Tính giá trị này:

\[
A\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 8 \times \frac{9}{16} - 12 \times \frac{3}{4} + 8 = 4.5 - 9 + 8 = 3.5
\]

- Với \( y = -\frac{\sqrt{3}}{2} \):

Tương tự như trên, ta thấy giá trị cũng sẽ lớn hơn giá trị khi \( y = 0 \).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[
\boxed{3.5}
\]