Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4y + 5 \), ta có thể biến đổi biểu thức này thành một dạng hoàn thành bình phương.

### Bước 1: Tham số hóa hình thức

Biểu thức có thể được phân tích như sau:

\[
A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4y + 5
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử có x và y lại với nhau:

\[
A = (x^2 - 2xy + 2y^2) - 4y + 5
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương

Sau đó, nhóm lại thực hiện hoàn thành bình phương cho phần chứa x:

\[
x^2 - 2xy = (x - y)^2 - y^2
\]

Thay vào biểu thức:

\[
A = ( (x - y)^2 - y^2 + 2y^2 ) - 4y + 5
\]

Điều này trở thành:

\[
A = (x - y)^2 + y^2 - 4y + 5
\]

### Bước 3: Xử lý phần y

Xem xét phần còn lại của biểu thức:

\[
y^2 - 4y + 5
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
y^2 - 4y + 4 + 1 = (y - 2)^2 + 1
\]

### Bước 4: Kết hợp lại

Vì thế:

\[
A = (x - y)^2 + (y - 2)^2 + 1
\]

### Bước 5: Xác định giá trị nhỏ nhất

Biểu thức \( (x - y)^2 + (y - 2)^2 \) đều không âm và nhỏ nhất bằng 0. Do đó:

\[
A \geq 0 + 0 + 1 = 1
\]

Giá trị nhỏ nhất của A là **1** và đạt được khi \( x = y \) và \( y = 2 \).

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( \boxed{1} \).