Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \( f(x, y) = x^2 - 2xy + 2y^2 + 4x - 6y - 2021 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lấy đạo hàm riêng và giải hệ phương trình.

1. **Tính đạo hàm riêng theo x và y:**

- Đạo hàm theo x:
\[
f_x = 2x - 2y + 4
\]
- Đạo hàm theo y:
\[
f_y = -2x + 4y - 6
\]

2. **Giải hệ phương trình:**
\[
f_x = 0 \Rightarrow 2x - 2y + 4 = 0 \quad (1)
\]
\[
f_y = 0 \Rightarrow -2x + 4y - 6 = 0 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có:
\[
x - y + 2 = 0 \Rightarrow x = y - 2 \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):
\[
-2(y - 2) + 4y - 6 = 0
\]
\[
-2y + 4 + 4y - 6 = 0
\]
\[
2y - 2 = 0 \Rightarrow y = 1
\]

Thay \( y = 1 \) vào (3):
\[
x = 1 - 2 = -1
\]

3. **Tìm giá trị của biểu thức tại điểm \( (x, y) = (-1, 1) \):**
\[
f(-1, 1) = (-1)^2 - 2(-1)(1) + 2(1)^2 + 4(-1) - 6(1) - 2021
\]
\[
= 1 + 2 + 2 - 4 - 6 - 2021
\]
\[
= 1 + 2 + 2 - 4 - 6 - 2021 = -2026
\]

4. **Kiểm tra tính cực trị:**

Tính định thức Hessian:
\[
H = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2
\]
Trong đó:
- \( f_{xx} = 2 \)
- \( f_{yy} = 4 \)
- \( f_{xy} = -2 \)

Tính toán:
\[
H = 2 \cdot 4 - (-2)^2 = 8 - 4 = 4 > 0 \quad \text{và} \quad f_{xx} > 0 \Rightarrow \text{cực tiểu}
\]

Vậy, **giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( -2026 \)**.