Để chứng minh rằng \( CD \) vuông góc với \( AB \), \( BE \) vuông góc với \( AC \) và \( AH \) vuông góc với \( BC \) trong tam giác nhọn \( ABC \), với các giả thiết rằng \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) và \( D \) và \( E \) là các điểm giao của đường tròn ngoại tiếp với \( AB \) và \( AC \), ta làm theo các bước sau:

1. **Xác định các tam giác và các đường vuông góc:**
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \) có tâm \( O \) và bán kính là từ \( O \) tới các đỉnh \( A, B, C \). Khi đường tròn này cắt \( AB \) tại \( D \) và cắt \( AC \) tại \( E \), ta sẽ có:
\[
\angle ODB = \angle OEC = 90^\circ
\]
Điều này có nghĩa là \( OD \) vuông góc với \( AB \) và \( OE \) vuông góc với \( AC \).

2. **Giải thích tính chất của các đường vuông góc:**
- \( CD \) là đường nối giữa điểm \( C \) và điểm \( D \), mà \( D \) là giao điểm của đường tròn với \( AB \). Từ tính chất trên, ta có:
\[
\angle CDB = 90^\circ \Rightarrow CD \text{ vuông góc với } AB
\]

3. **Xem xét đường \( BE \):**
- Tương tự, với \( BE \), ta có:
\[
\angle OEC = 90^\circ \Rightarrow BE \text{ vuông góc với } AC
\]

4. **Xem xét điểm \( H \):**
- Dựa vào các góc vuông vừa chứng minh được, chúng ta xác định điểm \( H \) là giao điểm của \( BE \) và \( CD \).
- Ta cần chứng minh rằng \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Vì \( ABC \) là tam giác nhọn, thì \( AH \), đường trung tuyến từ \( A \) sẽ cắt \( BC \) tại \( H \) sao cho \( AH \) sẽ cân bằng với các góc như \( \angle AHB + \angle AHC = 180^\circ \).

5. **Kết luận:**
- Từ đó, ta đã chứng minh được rằng:
- \( CD \) vuông góc với \( AB \)
- \( BE \) vuông góc với \( AC \)
- \( AH \) vuông góc với \( BC \)

Vậy nên, ta kết luận rằng:
\[
CD \perp AB, BE \perp AC \text{ và } AH \perp BC.
\]

Điều này được chứng minh rõ ràng dựa trên các định lý vẽ đường tròn ngoại tiếp và tính chất góc vuông trong tam giác.