Để giải phương trình \( \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 \), ta sử dụng một số công thức lượng giác.

1. **Sử dụng công thức biến đổi sin**:

Ta biết rằng \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) và \( \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x \). Thay vào phương trình, ta có:

\[
\sin x + 2 \sin x \cos x + (3 \sin x - 4 \sin^3 x) = 0
\]

Rút gọn phương trình:

\[
6 \sin x + 2 \sin x \cos x - 4 \sin^3 x = 0
\]

Nhóm lại:

\[
\sin x (6 + 2 \cos x - 4 \sin^2 x) = 0
\]

2. **Giải từng trường hợp**:

- **Trường hợp 1**: \( \sin x = 0 \)

Điều này xảy ra khi:

\[
x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

- **Trường hợp 2**: \( 6 + 2 \cos x - 4 \sin^2 x = 0 \)

Thay \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):

\[
6 + 2 \cos x - 4(1 - \cos^2 x) = 0
\]
\[
6 + 2 \cos x - 4 + 4 \cos^2 x = 0
\]
\[
4 \cos^2 x + 2 \cos x + 2 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
\Delta = (2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 4 - 32 = -28 < 0
\]

Phương trình này không có nghiệm thực.

3. **Kết luận**:

Nghiệm của phương trình \( \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 \) là:

\[
x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]