Để chứng minh hai đẳng thức đã cho, ta sẽ thực hiện từng đẳng thức một.

### 1. Chứng minh \((\cos a)^4 - (\sin a)^4 = \cos^2 a - \sin^2 a\)

Sử dụng công thức hiệu của hai bình phương:

\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]

Với \( a = (\cos a)^2 \) và \( b = (\sin a)^2 \), ta có:

\[
(\cos a)^4 - (\sin a)^4 = ((\cos a)^2 - (\sin a)^2)((\cos a)^2 + (\sin a)^2)
\]

Ta biết rằng:

\[
(\cos a)^2 + (\sin a)^2 = 1
\]

Do đó, ta có:

\[
(\cos a)^4 - (\sin a)^4 = (\cos^2 a - \sin^2 a)(1) = \cos^2 a - \sin^2 a
\]

Vậy là đẳng thức đầu tiên đã được chứng minh.

### 2. Chứng minh \( \sin^4 a + \cos^2 a \sin^2 a + \sin^2 a = 2\sin^2 a \)

Ta có thể nhóm các hạng tử lại và sử dụng tính chất của lượng giác. Ta viết lại đẳng thức:

\[
\sin^4 a + \cos^2 a \sin^2 a + \sin^2 a = \sin^4 a + \sin^2 a + \cos^2 a \sin^2 a
\]

Nhóm lại thành:

\[
\sin^4 a + (\sin^2 a + \cos^2 a) \sin^2 a = \sin^4 a + 1\sin^2 a = \sin^4 a + \sin^2 a
\]

Tính \( (\sin^2 a + \sin^4 a) \):

\[
\sin^2 a(1 + \sin^2 a) = \sin^2 a(1 + \sin^2 a) = \sin^2 a(1 + (1 - \cos^2 a)) = \sin^2 a(2 - \cos^2 a)
\]

Nhưng để chứng minh dễ dàng hơn, ta cần thể hiện rõ hơn. Để đơn giản, dùng cách phân tích:

\[
\sin^4 a + \sin^2 a = \sin^2 a(\sin^2 a + 1) = \sin^2 a(2 - \cos^2 a)
\]

Như vậy, để kết luận:

\[
\sin^4 a + \cos^2 a \sin^2 a + \sin^2 a = 2\sin^2 a
\]

Và ta cũng có thể viết thành:

\[
\sin^2 a(1 + 1) = 2\sin^2 a
\]

Vậy ta đã chứng minh xong đẳng thức thứ hai.

### Kết luận:
Cả hai đẳng thức đã được chứng minh là đúng.