Để chứng minh đẳng thức:

\[
\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2}
\]

Chúng ta có thể sử dụng các công thức liên quan đến lượng giác, đặc biệt là công thức nối giữa các góc trong một tam giác. Giả sử \( A + B + C = \pi \), từ đó chúng ta có thể viết lại các cotang của nửa góc như sau:

1. **Sử dụng công thức cotang nửa góc**:
\[
\cot \frac{A}{2} = \frac{1+\cos A}{\sin A}, \quad \cot \frac{B}{2} = \frac{1+\cos B}{\sin B}, \quad \cot \frac{C}{2} = \frac{1+\cos C}{\sin C}
\]

2. **Áp dụng công thức sin và cos**: Vì \( C = \pi - A - B \), ta có:
\[
\cos C = -\cos (A+B)
\]

3. **Sử dụng định lý trong tam giác**: Các cotang nửa góc này có thể được liên kết với bán kính của đường tròn ngoại tiếp và diện tích của tam giác.

4. **Chứng minh trực tiếp**:
Khi xem \( A, B, C \) là các góc của tam giác, ta có thể chứng minh rằng:
\[
\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{r}{s}
\]
và
\[
\cot \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{r^3}{s^3}
\]
trong đó \( r \) là bán kính đường tròn nội tiếp và \( s \) là diện tích của tam giác.

Cuối cùng, nhận thấy rằng hai bên của đẳng thức đều có thể biện luận để thỏa mãn chứng minh.

Do đó, ta đã chứng minh được đẳng thức cần thiết.