Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích và tìm giá trị của các biểu thức theo điều kiện \(3x + y = 1\).

### a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 3x^2 + y^2\)

1. Thay \(y\) theo \(x\): từ \(3x + y = 1\) ta có \(y = 1 - 3x\).
2. Thay vào biểu thức \(M\):
\[
M = 3x^2 + (1 - 3x)^2
\]
\[
= 3x^2 + (1 - 6x + 9x^2)
\]
\[
= 12x^2 - 6x + 1
\]
3. Tính đạo hàm:
\[
M' = 24x - 6
\]
Giải phương trình \(M' = 0\) để tìm điểm cực trị:
\[
24x - 6 = 0 \implies x = \frac{1}{4}
\]
4. Tính \(y\):
\[
y = 1 - 3\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}
\]
5. Tính giá trị của \(M\):
\[
M = 3\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 3\left(\frac{1}{16}\right) + \left(\frac{1}{16}\right) = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}
\]
Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{1}{4}\).

### b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(N = xy\)

1. Từ \(y = 1 - 3x\), ta có:
\[
N = x(1 - 3x) = x - 3x^2
\]
2. Tính đạo hàm:
\[
N' = 1 - 6x
\]
Giải phương trình \(N' = 0\):
\[
1 - 6x = 0 \implies x = \frac{1}{6}
\]
3. Tính \(y\):
\[
y = 1 - 3\left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{2}
\]
4. Tính giá trị của \(N\):
\[
N = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}
\]
Kết luận: Giá trị lớn nhất của \(N\) là \(\frac{1}{12}\).

### c) Tìm GTLN của biểu thức \(A = -x^2 - y^2 + xy + x + y\)

1. Thay \(y\) theo \(x\) vào biểu thức \(A\):
\[
A = -x^2 - (1 - 3x)^2 + x(1 - 3x) + x + (1 - 3x)
\]
2. Tính các thành phần:
\[
A = -x^2 - (1 - 6x + 9x^2) + x - 3x^2 + x + 1 - 3x
\]
\[
= -x^2 - 1 + 6x - 9x^2 + x - 3x^2 + x + 1 - 3x
\]
\[
= -13x^2 + 5x
\]
3. Tính đạo hàm:
\[
A' = -26x + 5
\]
Giải phương trình \(A' = 0\):
\[
-26x + 5 = 0 \implies x = \frac{5}{26}
\]
4. Tính \(y\):
\[
y = 1 - 3\left(\frac{5}{26}\right) = 1 - \frac{15}{26} = \frac{11}{26}
\]
5. Tính giá trị của \(A\):
\[
A = -\left(\frac{5}{26}\right)^2 - \left(\frac{11}{26}\right)^2 + \frac{5}{26} \cdot \frac{11}{26} + \frac{5}{26} + \frac{11}{26}
\]
\[
= -\frac{25}{676} - \frac{121}{676} + \frac{55}{676} + \frac{16}{26} = -\frac{146}{676} + \frac{130}{676} = -\frac{16}{676} = -\frac{4}{169}
\]

Kết luận:
- Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{1}{4}\).
- Giá trị lớn nhất của \(N\) là \(\frac{1}{12}\).
- Giá trị lớn nhất của \(A\) là \(-\frac{4}{169}\).