Để chứng minh các kết luận mà bạn yêu cầu, ta sẽ đi từng bước.

### a. Chứng minh tam giác ABE = tam giác DBE

**Cho:**
- A, B, D, E là các điểm trên mặt phẳng.
- BD = AB (giả sử)
- ABE và DBE có chung cạnh BE.

**Chứng minh:**
1. Ta có hai góc tại đỉnh B: ∠ABE và ∠DBE.
2. Theo giả thiết, BD = AB.
3. BE là cạnh chung của hai tam giác ABE và DBE.

=> Theo tiêu chuẩn so sánh tam giác (góc-cạnh-góc), ta có thể kết luận rằng:
\[
\Delta ABE \cong \Delta DBE
\]

### b. Gọi AH cắt BE tại N

Chúng ta sẽ không chứng minh gì ở đây mà chỉ định nghĩa.

### c. Chứng minh tam giác ANE cân

**Giả thiết:**
- AN = AE.

**Chứng minh:**
Ta đã có:
- Tam giác ABE và tam giác DBE = nhau, có điểm N trên BE.
- Ta có AE = AB theo giả thiết từ a.
- D = BD cũng như là điều kiện.
- Vì BE là cạnh chung nên AN = AE (do điểm N cắt theo cặp)

Vì vậy, tam giác ANE sẽ là tam giác cân khi AN = AE.

### d. Chứng minh AD là tia phân giác góc HAC

- Xem xét hai góc HAC và HDC.
- Để chứng minh AD là tia phân giác, ta cần chỉ ra rằng
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{HD}{DC}
\]
- Đặt D vào vị trí trên BC, sao cho BD = AB => B phải không nằm trên AC, mà nằm trên AH.

=> AD là tia phân giác tại A nếu HD = DC.

### e. So sánh HD và DC

- Từ điều kiện tam giác vuông ABC, suy ra:
1. D, H, C đều nằm trên BC, và BD = AB.
2. Xét tam giác ABD sẽ cho ra rằng HD = DC.

=> Khi đó ta sẽ có sự so sánh rõ ràng giữa HD và DC (có thể nhỏ hơn hoặc bằng nhau tùy thuộc vào vị trí của D).

### f. Chứng minh AH vuông BC và AB vuông AC

1. **AH vuông BC**
- Theo tính chất của đường phân giác và các hình chiếu vuông góc, ta có AH vuông với BC.

2. **AB vuông AC**
- Do giả thiết, góc A đã cho là 90 độ, ta có thể khẳng định rằng AB vuông với AC.

Tóm lại, dựa vào các mối liên hệ hình học và các điều kiện đã cho, ta có thể dễ dàng chứng minh nối kết của cá tam giác và các tính chất.