Để giải phương trình bậc 4 \( x^4 - 5x^3 + 11x - 55 = 0 \), trước tiên chúng ta có thể thử nghiệm một số giá trị nhỏ của \( x \) để tìm nghiệm.

Ta thử \( x = 3 \):

\[
3^4 - 5 \cdot 3^3 + 11 \cdot 3 - 55 = 81 - 135 + 33 - 55 = -76 \quad (\text{Không phải nghiệm})
\]

Thử \( x = 4 \):

\[
4^4 - 5 \cdot 4^3 + 11 \cdot 4 - 55 = 256 - 320 + 44 - 55 = -75 \quad (\text{Không phải nghiệm})
\]

Thử \( x = 5 \):

\[
5^4 - 5 \cdot 5^3 + 11 \cdot 5 - 55 = 625 - 625 + 55 - 55 = 0 \quad (\text{Đây là một nghiệm!})
\]

Vậy một nghiệm của phương trình là \( x = 5 \).

Giờ chúng ta sẽ sử dụng phép chia đa thức để chia \( x^4 - 5x^3 + 11x - 55 \) cho \( x - 5 \):

1. Chia \( x^4 \) cho \( x \) cho ra \( x^3 \).
2. Nhân \( x^3 \) với \( (x - 5) \) cho ra \( x^4 - 5x^3 \).
3. Trừ hai biểu thức: \( (x^4 - 5x^3 + 11x - 55) - (x^4 - 5x^3) = 11x - 55 \).
4. Bây giờ chia \( 11x - 55 \) cho \( x - 5 \):
- Chia \( 11x \) cho \( x \) cho ra \( 11 \).
- Nhân \( 11 \) với \( (x - 5) \) cho ra \( 11x - 55 \).
- Trừ: \( (11x - 55) - (11x - 55) = 0 \).

Vậy ta có:
\[
x^4 - 5x^3 + 11x - 55 = (x - 5)(x^3 + 11)
\]

Bây giờ chúng ta cần giải phương trình \( x^3 + 11 = 0 \):

\[
x^3 = -11
\]

Từ đó, ta có:
\[
x = \sqrt[3]{-11} = -\sqrt[3]{11}
\]

Vậy, các nghiệm của phương trình \( x^4 - 5x^3 + 11x - 55 = 0 \) là:

\[
x_1 = 5, \quad x_2 = -\sqrt[3]{11}, \quad x_3 = -\sqrt[3]{11} \cdot \text{(phần còn lại của các nghiệm phức)}
\]

Nghiệm phức có thể viết dưới dạng \( x_2 = \sqrt[3]{11} \left(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\right) \) và các nghiệm phức liên hợp.

Vậy nghiệm cuối cùng là:

\[
x = 5, \quad x = -\sqrt[3]{11}, \quad x = -\sqrt[3]{11}\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}\right), \quad x = -\sqrt[3]{11}\left(\cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}\right)
\]

Hoặc:

- Nghiệm thực là: \( x = 5 \) và \( x = -\sqrt[3]{11} \).
- Hai nghiệm phức: \( x = -\sqrt[3]{11} \text{cis} \left(\frac{2\pi}{3}\right), x = -\sqrt[3]{11} \text{cis} \left(\frac{4\pi}{3}\right) \).