Để tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều, chúng ta cần sử dụng công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp.

### a) Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 5 cm, trung đoạn 6,5 cm, chiều cao 6 cm.
1. **Chiều cao của hình chóp (h)**: 6 cm.
2. **Cạnh đáy (a)**: 5 cm.
3. **Diện tích đáy (S_đáy)** = a^2 = 5^2 = 25 cm².
4. **Chiều cao của tam giác bên (h_bên)**: Để tính chiều cao của tam giác bên, ta có thể sử dụng trung đoạn và chiều cao của hình chóp.

Theo định nghĩa, trung đoạn \( m \) giữa các cạnh bên được tính theo công thức \( m = \frac{1}{3} \cdot a + h \), từ đó ta có thể tìm chiều cao của tam giác bên.

Tuy nhiên, trước tiên, chúng ta có thể đơn giản sử dụng \(h_bên\). Chúng ta sẽ tính độ dài cạnh bên bằng công thức Pythagore:

\[ c = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61} \]

Tamaij tmichh (m) giữa cạnh bên với cạnh đáy:

\[ m_{b} = \sqrt{h_{bên}^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{h_{bên}^2 + (2.5)^2} \]
\[ = \sqrt{(6.5)^2 + (2.5)^2} = \sqrt{42.25 + 6.25} = \sqrt{48.5} \approx 6.964 \]

5. **Diện tích xung quanh (S_xq)**: Hình chóp tứ giác đều có 4 tam giác bên.

\[
S_xq = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{bên} \cdot 4 = 2 \cdot \sqrt{61} \cdot 6.5
\]
\[
S_xq \approx 2 \cdot 7.81 \cdot 6.5 \approx 101.273
\]

6. **Thể tích (V)**:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_đáy \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 6 \approx 50 \mathrm{ cm}^3.
\]

### b) Hình chóp tứ giác đều có chu vi mặt đáy 40 cm, trung đoạn 13 cm, chiều cao 12 cm.
1. **Chu vi mặt đáy**: 40 cm, từ đó chúng ta tìm được cạnh đáy:
\[
a = \frac{40}{4} = 10 \text{ cm}.
\]
2. **Chiều cao (h)**: 12 cm.
3. **Diện tích đáy (S_đáy)**:
\[
S_đáy = a^2 = 10^2 = 100 \text{ cm}^2.
\]

4. **Chiều cao của tam giác bên (h_bên)** có thể tính bằng Pythagore:
\[
c = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{10^2 + 12^2} = \sqrt{100 + 144} = \sqrt{244} \approx 15.62.
\]

5. **Diện tích xung quanh (S_xq)**:
\[
S_xq = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{bên} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 15.62 \approx 312.4 \text{ cm}^2.
\]

6. **Thể tích (V)**:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_đáy \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 \approx 400 \text{ cm}^3.
\]

### Kết quả
- a) Diện tích xung quanh ≈ 101.273 cm², Thể tích ≈ 50 cm³.
- b) Diện tích xung quanh ≈ 312.4 cm², Thể tích ≈ 400 cm³.