Để tính diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tứ giác đều, chúng ta cần biết một số thông số cơ bản.

### Bước 1: Tính cạnh của đáy

Chu vi của đáy hình chóp tứ giác đều là 40 cm. Gọi \( a \) là cạnh của hình vuông đáy, khi đó:

\[
\text{Chu vi} = 4a \Rightarrow 4a = 40 \Rightarrow a = \frac{40}{4} = 10 \, \text{cm}
\]

### Bước 2: Tính diện tích đáy

Diện tích đáy \( S_d \) của hình chóp tứ giác đều là:

\[
S_d = a^2 = 10^2 = 100 \, \text{cm}^2
\]

### Bước 3: Tính độ dài cạnh bên

Hình chóp tứ giác đều có trung đoạn (đoạn nối giữa các trung điểm cạnh đáy và đỉnh hình chóp) bằng 13 cm và chiều cao của hình chóp là 12 cm. Đầu tiên, ta có thể tính độ dài cạnh bên \( s \).

Ta biết rằng trung đoạn \( m \) có thể được tính qua chiều cao \( h \) và các cạnh bên \( s \):

\[
m = \frac{S_d + S}{2}
\]

Trong đó \( S \) là diện tích của tam giác bên. Đối với hình chóp tứ giác đều, diện tích tam giác bên có thể được tính như sau:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s
\]

Tuy nhiên, ta không cần tính diện tích tam giác bên này để tìm độ dài cạnh bên \( s \). Ta tìm \( s \) từ trung đoạn.

Ta có thể sử dụng công thức sau để tính chiều cao từ trung điểm đáy lên đỉnh chóp:

\[
\text{Trung đoạn} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

Giải quy đồng:

\[
13 = \sqrt{12^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} \Rightarrow 13 = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13
\]

Công thức trên chứng minh rằng thông tin cung cấp là chính xác. Ta sẽ kết luận rằng chiều dài cạnh bên \( s \) là:

\[
s = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]

\[
s = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \, \text{cm}
\]

### Bước 4: Tính diện tích xung quanh

Diện tích xung quanh \( S_x \) của hình chóp tứ giác đều là:

\[
S_x = \frac{1}{2} \cdot P_d \cdot s
\]

Với \( P_d \) là chu vi đáy đã được tính là 40 cm:

\[
S_x = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 20 \cdot 13 = 260 \, \text{cm}^2
\]

### Bước 5: Tính thể tích

Thể tích \( V \) của hình chóp tứ giác đều được tính bằng công thức:

\[
V = \frac{1}{3} S_d h
\]

\[
V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = \frac{1200}{3} = 400 \, \text{cm}^3
\]

### Kết quả

- Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều là \( 260 \, \text{cm}^2 \).
- Thể tích của hình chóp tứ giác đều là \( 400 \, \text{cm}^3 \).