Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất trong hình học, đặc biệt là tính chất cạnh và góc của tam giác, cũng như tính chất của tuyến trung gian và đường phân giác.

Giả sử \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \) trong tam giác \( \Delta ABC \). Do đó, ta có:

- \( MB = MC \)

**Chứng minh phần a) \( AB = CD \)**:

1. Bởi vì \( AM \) là đường phân giác, nên ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MC} = 1 \implies AB = AC
\]

2. Do \( MD = MA \) (theo giả thiết), tức là \( AD = 2MA \).
3. Xét tam giác \( AMD \):
- \( AB = AC \) (từ bước 1)
- \( AM = MD \) (từ giả thiết) => \( MD = MA \)

4. Từ theo định lý Cosine trong tam giác \( AMD \), ta có:
\[
AD^2 = AM^2 + MD^2 - 2 \cdot AM \cdot MD \cdot \cos(\angle AMD)
\]

5. Bởi vì \( MD = MA \), ta có:
\[
AD^2 = MA^2 + MA^2 - 2 \cdot MA^2 \cdot \cos(\angle AMD)
\]
\[
AD = \sqrt{2 \cdot MA^2 - 2 \cdot MA^2 \cdot \cos(\angle AMD)}
\]

6. Từ đó, suy ra:
\[
CD = 2MA \cdot \sin\left(\frac{\angle AMD}{2}\right)
\]
Do đó, \( AB = CD \).

**Chứng minh phần b) \( \Delta ACD \) cân tại C**:

1. Để chứng minh tam giác \( \Delta ACD \) cân tại \( C \), cần chứng minh hai cạnh \( AC \) và \( CD \) bằng nhau.
2. Từ phần (a), chúng ta đã có \( AB = CD \).
3. Bên cạnh đó, \( AC = AB \) (từ bước 1). Do đó:
\[
AC = AB = CD
\]
4. Vậy \( \Delta ACD \) cân tại \( C \).

**Chứng minh phần c) \( \Delta ABC \) cân tại A**:

1. Từ \( AB = AC \), ta có:
\[
AB = AC \implies \Delta ABC \text{ cân tại A.}
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu trong bài toán:

a) \( AB = CD \)

b) \( \Delta ACD \) cân tại \( C \)

c) \( \Delta ABC \) cân tại \( A \)