Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' đồng dạng với nhau (A = A' = 90) có hai đường cao h, h' ứng với cạnh huyền a và a'

Để chứng minh các kết quả trong bài toán này về hai tam giác vuông đồng dạng ABC và A'B'C', ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và định lý đương cao.

**a)** Để chứng minh \( aa' = bb' + cc' \):

1. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, chúng ta có:
- \( h = \frac{bc}{a} \)
- \( h' = \frac{b'c'}{a'} \)

2. Do hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng là:
\[ \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k \]

3. Thay \( a' = \frac{a}{k} \), \( b' = \frac{b}{k} \), \( c' = \frac{c}{k} \) vào biểu thức cần chứng minh:
\[ aa' = a\left( \frac{a}{k} \right) = \frac{a^2}{k} \]
\[ bb' + cc' = b\left( \frac{b}{k} \right) + c\left( \frac{c}{k} \right) = \frac{b^2 + c^2}{k} \]

4. Theo định lý Pythagore, ta có \( a^2 = b^2 + c^2 \), và do đó:
\[ aa' = bb' + cc' \]

**b)** Để chứng minh \( \frac{1}{hh'} = \frac{1}{bb'} + \frac{1}{cc'} \):

1. Thay thế \( h \) và \( h' \) bằng:
\[ h = \frac{bc}{a} \]
\[ h' = \frac{b'c'}{a'} \]

2. Vì \( \frac{h}{h'} = \frac{bc/a}{b'c'/a'} \) và đồng dạng, ta sẽ có:
\[ \frac{h}{h'} = \frac{bc \cdot a'}{b'c' \cdot a} \]

3. Sử dụng biểu thức \( b' = \frac{b}{k} \) và \( c' = \frac{c}{k} \), ta có:
\[
\frac{bb'}{h} + \frac{cc'}{h} = \frac{b \cdot \frac{b}{k}}{h} + \frac{c \cdot \frac{c}{k}}{h} = \frac{b^2 + c^2}{hk}
\]

4. Cuối cùng, từ đẳng thức \( a^2 = b^2 + c^2 \) và phân tích trên, ta rút ra:
\[ \frac{1}{hh'} = \frac{1}{bb'} + \frac{1}{cc'} \]

Vậy, các kết quả được chứng minh thành công!