Để thực hiện phép tính \( \frac{3}{7} \times 3\frac{2}{5} + \frac{3}{6} \times 10\frac{3}{5} - \frac{1}{2} \), ta có thể tiến hành từng bước như sau:

1. **Chuyển đổi số hỗn hợp thành phân số.**
- \( 3\frac{2}{5} = \frac{3 \times 5 + 2}{5} = \frac{15 + 2}{5} = \frac{17}{5} \)
- \( 10\frac{3}{5} = \frac{10 \times 5 + 3}{5} = \frac{50 + 3}{5} = \frac{53}{5} \)

2. **Thực hiện các phép nhân.**
- \( \frac{3}{7} \times \frac{17}{5} = \frac{3 \times 17}{7 \times 5} = \frac{51}{35} \)
- \( \frac{3}{6} \times \frac{53}{5} = \frac{3 \times 53}{6 \times 5} = \frac{159}{30} \)

3. **Rút gọn giá trị của \( \frac{159}{30} \):**
\[
159 \div 3 = 53, \quad 30 \div 3 = 10 \implies \frac{159}{30} = \frac{53}{10}
\]

4. **Thực hiện phép cộng và trừ.**
- Đưa tất cả về mẫu số chung. Mẫu số chung của 35 và 10 là 70.
- Đổi \( \frac{51}{35} \) thành \( \frac{51 \times 2}{35 \times 2} = \frac{102}{70} \)
- Đổi \( \frac{53}{10} \) thành \( \frac{53 \times 7}{10 \times 7} = \frac{371}{70} \)
- \( \frac{51}{35} + \frac{53}{10} = \frac{102}{70} + \frac{371}{70} = \frac{473}{70} \)

5. **Trừ \( \frac{1}{2} \). Đổi \( \frac{1}{2} \) thành \( \frac{35}{70} \).**
- \( \frac{473}{70} - \frac{35}{70} = \frac{438}{70} \)

6. **Rút gọn \( \frac{438}{70} \):**
\[
438 \div 2 = 219, \quad 70 \div 2 = 35 \implies \frac{438}{70} = \frac{219}{35}
\]

**Kết quả cuối cùng là \( \frac{219}{35} \).**