Để chứng minh \( AN \parallel OM \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Xác định các góc**:
- Góc \( xOy = 150^\circ \).
- Tia \( Az \) nằm trong góc \( xOy \) với \( OAz = 30^\circ \). Do đó, góc \( zOy = 150^\circ - 30^\circ = 120^\circ \).
- Tia \( Az' \) là tia đối của \( Az \), nên \( OzAz' = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \).

2. **Phân giác của các góc**:
- Tia \( OM \) là phân giác của góc \( xOy \), nên \( \angle xOM = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \).
- Tia \( AN \) là phân giác của góc \( OAz' \), nên \( \angle OAN = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ \).

3. **Sử dụng tính chất góc**:
- Vì \( AN \) và \( OM \) đều tạo ra góc \( 75^\circ \) với tia \( Ox \), nên:
\[
\angle OAN = \angle xOM = 75^\circ
\]

4. **Kết luận**:
- Do hai tia \( AN \) và \( OM \) cùng tạo một góc với một tia bên ngoài là \( Ox \) và cùng có giá trị là \( 75^\circ \), suy ra \( AN \parallel OM \).

Vậy ta đã chứng minh \( AN \parallel OM \).